Absolutna vrednost

Graf funkcije absolutne vrednosti realnega števila x

Absolútna vrédnost (redko tudi módul) nekega realnega ali kompleksnega števila je v matematiki elementarna funkcija, ki predstavlja njegovo oddaljenost od številskega izhodišča (točke 0) na številski premici oziroma v kompleksni ravnini. Absolutno vrednost po navadi označimo z navpičnim oklepajem | |.

Absolutna vrednost poljubnega števila je vedno nenegativno število.

Realna števila

Absolutna vrednost realnega števila ni odvisna od njegovega predznaka.

${\displaystyle |a|=\left\{{\begin{matrix}a;\ a\geq 0\\-a;\ a<0\\\end{matrix}}\right.}$

Zgled: ${\displaystyle |3|=3}$ in ${\displaystyle |-3|=3}$ ter ${\displaystyle |0|=0}$.

Velja:

1. |a| ≤ b, če in samo če -b ≤ a ≤ b
2. |a| ≥ b, če in samo če a ≤ -b ali a ≥ b

Kompleksna števila

Kompleksna števila z absolutno vrednostjo 1 ležijo na enotski krožnici

Če imamo kompleksno število ${\displaystyle z=a+b\,i}$, kjer sta ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$, potem je absolutna vrednost ${\displaystyle |z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$, kar predstavlja razdaljo od števila z do točke 0 v kompleksni ravnini. Torej, ${\displaystyle |3+4i|=5}$.

Kompleksna števila, ki imajo enako absolutno vrednost, ležijo na krožnici s središčem v izhodišču.

Značilnosti absolutne vrednosti

Absolutna vrednost ima v realnem in v kompleksnem naslednje značilnosti:

1. |a| ≥ 0
2. |a| = 0, če in samo če a = 0.
3. |ab| = |a||b|
4. |a/b| = |a| / |b| (če b ≠ 0)
5. |a+b| ≤ |a| + |b| (trikotniška neenakost)
6. |a-b| ≥ ||a| − |b||

Poleg tega velja v realnem še ${\displaystyle \left|a\right|={\sqrt {a^{2}}}}$, v kompleksnem pa ${\displaystyle \left|z\right|={\sqrt {z~{\overline {z}}~}}}$.

Vektorji

Absolutna vrednost vektorja je drugo ime za dolžino vektorja.

Zgled: absolutno vrednost trirazsežnega vektorja ${\displaystyle {\vec {a}}=(a_{x},a_{y},a_{z})}$ izračunamo po formuli:

${\displaystyle ||{\vec {a}}||={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}\!\,.}$

Programiranje

V programskih jezikih je funkcija abs(a) (za realna števila) običajno vgrajena, sicer pa jo lahko enostavno sprogramiramo (zgled v pascalu):

function abs(a:integer):integer;
begin
  if (a >= 0) then abs := a
              else abs := -a;  
end;