Parciálna diferenciálna rovnica

Parciálna diferenciálna rovnica je v matematike rovnica obsahujúca neznámu funkciu niekoľkých nezávisle premenných a jej parciálne derivácie podľa týchto premenných. Najvyšší z rádov parciálnych derivácii vyskytujúcich sa v rovnici sa nazýva rád parciálnej diferenciálnej rovnice.

Parciálne diferenciálne rovnice sú zovšeobecnením obyčajných diferenciálnych rovníc, ktoré obsahujú neznámu funkciu jednej premennej a jej derivácie. Každá obyčajná diferenciálna rovnica je súčasne aj parciálnou diferenciálnou rovnicou.

Definícia

Parciálna diferenciálna rovnica je matematická rovnica tvaru

${\displaystyle F\left(x_{1},\ldots ,x_{n},u,{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}u,\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}u,{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}u,{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}u,\ldots ,{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}u,\ldots ,{\frac {\partial ^{k}}{\partial x_{1}^{k}}}u,{\frac {\partial ^{k}}{\partial x_{1}^{(k-1)}\partial x_{2}}}u\ldots ,{\frac {\partial ^{k}}{\partial x_{n}^{k}}}u\right)=0,}$

kde ${\displaystyle u(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ je neznáma funkcia n premenných. Číslo k sa nazýva rád parciálnej diferenciálnej rovnice.

Príklady

Elementárny príklad

Uvažujme parciálnu diferenciálnu rovnicu

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}u(x,y)=0.\,}$

Zjavne, riešením tejto rovnice sú všetky funkcie nezávislé od x, preto možno všeobecné riešenie zapísať ako

${\displaystyle u(x,y)=f(y),\,}$

kde f je ľubovoľná funkcia o jednej premennej. Uvedená rovnica je analógiou obyčajnej diferenciálnej rovnice

${\displaystyle {\frac {{\textrm {d}}u(x)}{{\textrm {d}}x}}=0,}$

ktorej riešením je ľubovoľná konštanta c (nezávislá od x).

Rovnica vedenia tepla

Dôležitým príkladom parciálnej diferenciálnej rovnice je rovnica vedenia tepla, ktorá opisuje šírenie tepla v telesách v závislosti od času. Pre funkciu ${\displaystyle u(x,y,z,t),}$ kde ${\displaystyle (x,y,z)}$ vyjadruje polohu bodu v priestore a t udáva čas, má rovnica vedenia tepla tvar

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-\alpha \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)=0,}$

kde ${\displaystyle \alpha }$ je konštanta.

Vlnová rovnica

Vlnová rovnica je parciálna diferenciálna rovnica druhého rádu, ktorá sa využíva na opis vlnenia (akustického, mechanického, elektromagnetického, atď.).

Vo všeobecnosti ide o typ rovnice, ktorá sa dá vyjadriť v tvare

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{2}^{2}}}+...+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{n}^{2}}},}$

kde c je konštanta.

Literatúra

• Evans, L. C.: Partial Differential Equations. Springer, 2010.
• Farlow, S. J.: Partial differential equations for scientists and engineers. Dover, 1993.

Externé odkazy

• EqWorld - stránka s informáciami o riešeniach rovníc, vrátane parciálnych diferenciálnych (po anglicky).
• Parciálna diferenciálna rovnica - MathWorld (po anglicky)