Sferna trigonometrija

Sferni trokut

Sferna trigonometrija je trigonometrija sfernog trokuta, tj. učenje o zavisnosti između stranica i kutova sfernog trokuta. Za razliku od obične, ravanske trigonometrije, u sfernoj trigonometriji tri kuta trokuta jednoznačno određuju njegov oblik i dimenzije.^[1]

Geometrija na kugli (sferi)

Geodezijska linija je "prava linija" plohe čija je geodezijska krivina u svakoj njenoj točki jednaka nuli. Dovoljno mali luci geodezijske linije su najkraći putevi te plohe između svojih krajnjih točaka. Tako geodezijske linije na plohi igraju istu ulogu kao prave linije u ravni. Geodezijske linije na cilindru su zavojnice (linije zavrtanja), a na lopti to su veliki krugovi.

Geodezijske linije sfere

Presječemo li kuglu (loptu) ravninom kroz njeno središte, točku O na slici desno (sl. 1.), na plohi kugle (sfere) dobijamo tzv. glavnu kružnicu čiji poluprečnik je jednak poluprečniku sfere. To je velika kružnica date sfere. Kroz proizvoljne dvije točke A i B na kugli, s izuzetkom dijametralnih, možemo povući jednu veliku kružnicu. NJen manji luk AB je najkraća linija na kugli (u sferi) koja spaja te točke; zovemo je geodezijska linija na kugli, i na kugli ima istu ulogu kao prava linija u ravni.

Mjerenje lukova i kutova na sferi

Dužina luka glavne kružnice ${\displaystyle AB=\cup c\,}$ sa centralnim kutom ${\displaystyle \gamma \,}$ (u radijanima), jednaka je ${\displaystyle R\gamma ,\,}$ gde je ${\displaystyle R\,}$ poluprečnik sfere (sl. 2. ). Za jednu istu sferu prikladno je za jedinicu mjerenja luka uzeti radijus${\displaystyle R\,.}$ Tada je ${\displaystyle \cup c=\gamma .\,}$ U narednim formulama primejnjena je ta mjerna jedinica.

Sferni trokut

Centralni kut sfere

Tri velike kružnice na sferi određuju nekoliko sfernih trokuta. Od njih posmatramo onaj (na slikama desno trokut ABC) kome svaka od tri stranice ima centralni kut velike kružnice (sl. 2., kut AOB), manji od 180°, odnosno kome je svaki od unutrašnjih kutova manji od 180°.

Osnovne osobine sfernog trokuta

• Zbir A+B+C unutrašnjih trokuta sfernog trokuta uvijek je veći od 180°.
• Razliku (A+B+C)-π=δ, mjerenu u radijanima, nazivamo sferni eksces datog sfernog trokuta.

Površina sfernog trokuta dvokuta

• Površina sfernog trokuta je ${\displaystyle P=R^{2}\delta ,\,}$, gdje je R radijus lopte, a δ je sferni eksces.
• Površina sfernog dvokuta koji čine dva luka glavnih kružnica je ${\displaystyle P_{2}=2R^{2}A,\,}$ gdje je kut A izražen u radijanima.

Rješavanje sfernih trokuta

Naspram temena ${\displaystyle A,B,C\,}$ nalaze se lukovi, stranice sfernog trokuta ${\displaystyle a,b,c\,}$. U temenima sfernog trokuta nalaze se istoimeni kutovi.

Pravokutni trokut

Neka su ${\displaystyle a,b\,}$ katete, a ${\displaystyle c\,}$ je hipotenuza pravokutnog sfernog trokuta ABC. To znači da tangente povučene na katete (lukove CA i CB) u točki (C) naspram hipotenuze grade pravi kut. Važe sljedeći odnosi:

Neperovo pravilo

${\displaystyle \sin a=\sin c\sin A,\quad \sin b=\sin c\sin B,}$

${\displaystyle \cos A=\cos a\sin B,\quad \cos B=\cos b\sin A,}$

${\displaystyle \cos c=\cos a\cos b,\quad \cos c=\cot A\cot B,}$

${\displaystyle \tan a=\sin b\tan A,\quad \tan b=\sin a\tan B,}$

${\displaystyle \tan a=\tan c\cos B,\quad \tan b=\tan c\cos A.}$

Ove formule možemo dobiti iz sljedećeg Neperovog pravila:

Ako rasporedimo pet elemenata pravokutnog trokuta (bez pravog kuta) po kružnici, redom kako se oni nalaze u trokutu, i zamjenimo katete ${\displaystyle a,b}$ s njihovim komplementarnim kutovima, tada:

• kosinus svakog elementa jednak je proizvodu kotangensa dvaju njemu susjednih elemenata;
• kosinus svakog elementa jednak je proizvodu sinusa njemu suprotnih elemenata.

Na primer, ${\displaystyle \cos A=\cot(90^{o}-b)\cot c,\;\cos(90^{o}-a)=\sin c\sin A.}$

Kosinusna teorema

Neka su ${\displaystyle A,B,C\,}$ kutovi sfernog trokuta; ${\displaystyle a,b,c\,}$ su nasuprotne stranice. Tada važi:

${\displaystyle {\frac {\sin a}{\sin A}}={\frac {\sin b}{\sin B}}={\frac {\sin c}{\sin C}},\;}$ "sinusna teorema";

${\displaystyle \cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A,\;}$

${\displaystyle \cos A=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cos a,\;}$ "kosinusna teorema";

${\displaystyle \sin a\cot b=\cot B\sin C+\cos a\cos C;\,}$

${\displaystyle \sin A\cot B=\cot b\sin c-\cos A\cos c.\,}$

Reference

1. Todhunter, I. (1886). Spherical Trigonometry (5th izd.). MacMillan. 

Vanjske veze

Sferna trigonometrija na Wikimedijinoj ostavi

• Wolfram's mathworld: Spherical Trigonometry a more thorough list of identities, with some derivation
• Wolfram's mathworld: Spherical Triangle nice applet
• Spherical Triangle Calculator Arhivirano 2014-10-09 na Wayback Machine-u A practical javascript program
• A Visual Proof of Girard's Theorem by Okay Arik, the Wolfram Demonstrations Project.
• "The Book of Instruction on Deviant Planes and Simple Planes" is a manuscript in Arabic that dates back to 1740 and talks about spherical trigonometry, with diagrams.
• Some Algorithms for Polygons on a Sphere Robert G. Chamberlain, William H. Duquette, Jet Propulsion Laboratory. The paper develops and explains many useful formulae, perhaps with a focus on navigation and cartography.