Prava

Za ostala značenja, vidi Prava (razvrstavanje).

Prava je jedan od osnovnih geometrijskih pojmova. Njena definicija se daje aksiomatski.

Nemački naučnik G. Lajbnic je pravu definisao kao liniju koja dijeli ravan na dva kongruentna dijela, međutim pod ovu definiciju potpadaju i druge linije - na primjer, sinusoida i svaka pravilna izlomljena linija čija su svaka dva segmenta na preskok - paralelna.

Osobine prave

1. kroz bilo koju tačku ravni može se povući beskonačno mnogo pravih
2. Svake dvije različite tačke pripadaju jednoj i samo jednoj pravoj.
3. Svaka prava sadrzi najmanje dvije zajednicke tačke
4. Dvije različite tačke su uvijek kolinearne
5. Dvije različite prave ravni mogu se sjeći ili da budu paralelne
6. Dvije različite prave prostora mogu se sjeći. biti paralelne ili mimoilazne.
7. Prava je algebarska kriva I stepena

Definicija

Grčki matematičar Euklid u knjizi Elementi dao je definiciju linije

1. Linija je dužina bez širine .
2. Krajevi linije su tačke.
3. Prava linija je ona koja za sve tačke podjednako leži.

Arhimedova aksioma

Od svih linija sa istim krajevima prava linija je najkrača. Posmatrajmo pravu u Dekartovom koordinantnom sistemu. Pravu možemo definisati kao geometrijsko mjesto tačaka ,gdje Dekartove koordinate zadovoljavaju jednačinu

${\displaystyle ax+by+c=0}$, gdje parametri a,b,c ne mogu biti istovremeno jednaki nulu.

Analitičke definicije

Posmatrajmo pravu u Dekartovom koordinantnom sistemu. Pravu možemo definisati kao geometrijsko mjesto tačaka, gdje Dekartove koordinate zadovoljavaju jednačinu

${\displaystyle ax+by+c=0}$, gdje parametri a,b,c ne mogu biti istovremeno jednaki nulu.

Prava se u pravougaonom koordinatnom sistemu može zadati na jedan od tri načina:

Pomoću odsječka b na ordinati i ugla ${\displaystyle \alpha }$ koji gradi prava sa pozitivnim pravcem apscise.

Jednačina prave je ${\displaystyle y=mx+b}$ gdje je ${\displaystyle m=\tan \alpha }$ i često se zove opšta jednačina prave. Obično se kod ovakve jednačine m zove koeficijent pravca, a b je odsječak ordinate.

Pomoću odsječaka b i c koje prava odsjeca na koordinatnim osama.

Jednačina prave gdje je ${\displaystyle {\frac {y}{b}}+{\frac {x}{c}}=1}$ se zove segmentska.

Pomoću njenog rastojanja do koordinatnog početka p i ugla ${\displaystyle \omega }$ koji gradi to rastojanje sa pozitivnom stranom apscise.

Normalna jednačina prave se zove jednačina oblika ${\displaystyle y\sin \omega +x\cos \omega -p=0\,}$

Prava u tri i višedimenzionalnom prostoru

Ako je dat skup tačaka ${\displaystyle a=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$ ${\displaystyle ;a=M+\lambda {\overrightarrow {v}}}$,

• ${\displaystyle M=(m_{1},m_{2}\dots ,m_{n})\in R^{n}}$ - Proizvoljna tačka prave.
• ${\displaystyle {\overrightarrow {v}}=(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})\in R^{n}}$ - vektor koji označava pravac prave. Ako se ove tačke poklapaju imamo nula vektor,
  
  
• ${\displaystyle \lambda \in R}$ - parametar.
  
  

Parametarska jednačina

Parametarska jednačina prave glasi:

${\displaystyle a_{1}=p_{1}+\lambda v_{1}\;;\;a_{2}=p_{2}+\lambda v_{2}\;;\;\dots \;;\;a_{n}=p_{n}+\lambda v_{n}}$

Ako u ovoj jednačini eliminišemo parametar λ dobijamo kanonsku jednačinu prave

${\displaystyle {\frac {a_{1}-p_{1}}{v_{1}}}={\frac {a_{2}-p_{2}}{v_{2}}}=\dots ={\frac {a_{n}-p_{n}}{v_{n}}}}$

Tačka i prava u prostoru

Neka su dati tačka M i prava a = A + αv takve da je

${\displaystyle M,A,{\overrightarrow {v}}\in R^{n}\;,\;\alpha \in R}$.

Za njihov međusobni položaj vrijedi

1. Tačka ne pripada pravoj, ako ne postoji α za koje je {P = A + αv}
2. Tačka pripada pravoj, ako postoji α za koje je {P = A + αv}

Udaljenost tačke od prave

Udaljenost tačke od prave je jednaka dužini udaljenosti između zadane tačke M и njene normalne projekcije M' nа pravu a, tj ovdje je vektor MM' normalan nа vektor prave v.

${\displaystyle M'=A+\alpha v}$
tj. ${\displaystyle d(M,a)=|MM'|}$.

Ako je vrijednost ovog izraza nula dobijamo:

${\displaystyle {\overrightarrow {MM'}}\cdot v=0}$ ( skalarni proizvod)

U prostoru ${\displaystyle R^{3}}$ važi:

${\displaystyle d(P,a)={\frac {|{\overrightarrow {AP}}\times v|}{|v|}}}$ vektorski proizvod i intenzitet vektora).

Dvije prave u prostoru dimenzije 3 ili veće

Dvije prave a = A + αv i b = B + βu u ${\displaystyle R^{n}}$ mogu da zauzimaju sljedeće položaje, jedna u odnosu na drugu:

• mogu biti identične, ako ${\displaystyle A\in b\lor B\in a)\land v=ku,k\in R\setminus \left\{0\right\}}$.
• mogu biti paralelne, ako (${\displaystyle (A\notin b)\land v=ku,k\in R\setminus \left\{0\right\}}$
• mogu da se sijeku, ako važi ${\displaystyle v\neq ku,k\in R\setminus \left\{0\right\}}$${\displaystyle }$ i jednačina A + αv = B + βu ima jednoznačno rješenje po α i β. Tačka presjeka I će u ovom slučaju biti -{I = A + αv = B + βu}
• mogu biti mimoilazne ako važi ${\displaystyle v\neq ku,k\in R\setminus \left\{0\right\}}$ ali jednačina -{A + αv = B + βu} nema rješenja.

Specijalno u ${\displaystyle R^{3}}$ ${\displaystyle v=ku,k\in R\setminus \left\{0\right\}}$ može zameniti sa ${\displaystyle v\times u=0}$

Udaljenost dvije pralelelne prave

Udaljenost dvije paralelne prave se određuje kao udaljenost proizvoljne tačke P jedne od dvije prave od njene projekcije P' na drugu pravu.

${\displaystyle A'=B+k{\overrightarrow {v}},k\in R\;\land \;AA'\bot v}$.

Udaljenost između tačaka A i A' će biti jednako udaljenosti između paralelnih pravi a i b.

Rastojanje dve paralelne prave u R³

U trodimenzionalnom prostoru ovaj postupak je nešto lakši. Ako su dvije prave a i b paralelne, njihovo rastojanje je jednako visini paralelograma koga grade vektori

${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$ и ${\displaystyle {\overrightarrow {v}}}$

Ona se jednaka količnku površine ovog paralelograma (intenzitet vektorskog proizvoda) i intenziteta vektora v.

${\displaystyle d(a,b)={\frac {|{\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {v}}|}{|{\overrightarrow {v}}|}}}$

Udaljenost dvije mimoilazne prave

Udaljenost dvije mimoilazne prave je i minimalna udaljenost između tačaka koje ih čine. Jedan od načina da se ono nađe je da se predstavi vektor između njih, i zatim nađe za koje parametre pravih će njegova veličina biti minimalna. Neka je ovaj vektor w, i opšte tačke pravih P i Q. Biće

${\displaystyle P=A+\alpha v=(A_{1}+\alpha v_{1},A_{2}+\alpha v_{2},...,A_{n}+\alpha v_{n}),\alpha \in R}$ ${\displaystyle Q=B+\beta u,\beta \in R}$

Intenzitet vektora ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$ će biti

${\displaystyle |{\overrightarrow {AB}}|=f(\alpha ,\beta )={\sqrt {(A_{1}+\alpha v_{1}-B_{1}-\beta u_{1})^{2}+\dots +(A_{n}+\alpha v_{n}-B_{n}-\beta u_{n})^{2}}}}$

Kako korijen ne utiče na vrijednost koju parametri α i β imaju pri maksimalnoj vrijednosti izraza, korijen se ovdje može izbaciti. Sljedeći korak biće traženje prvih izvoda izraza

${\displaystyle f(\alpha ,\beta )}$ po α i po β. Tako ćemo dobiti sistem od dvije jednačine sa dvije nepoznate, α i β, koji se da riješiti.

${\displaystyle {\begin{cases}f(\alpha ,\beta )'_{\alpha }\\f(\alpha ,\beta )'_{\beta }\end{cases}}}$

Kada se odavde dobijene vrijednosti α i β vratimo u jednačine pravih a i b, respektivno, rezultujuće koordinate će predstavljati tačke, ${\displaystyle P_{0}}$ i ${\displaystyle Q_{0},}$ čija je udaljenost minimalna udaljenost između ove dvije prave.

${\displaystyle d(a,b)=d(P0,Q0)}$

Udaljenost dvije mimoilazne prave u R³

Specijalno u slučaju ${\displaystyle R^{3}}$ je situacija jednostavnija i može se se riješiti preko mješovitog proizvoda.

${\displaystyle d(a,b)={\frac {|[{\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {v}},{\overrightarrow {u}}]|}{|u\times v|}}}$

Prava u kompleksnoj ravni

1. ${\displaystyle ab\|cd}$ ako i samo ako ${\displaystyle {\frac {a-b}{{\bar {a}}-{\bar {b}}}}={\frac {c-d}{{\bar {a}}-{\bar {d}}}}}$
2. a, b, c kolinearne ako i samo ako ${\displaystyle {\frac {a-b}{{\bar {a}}-{\bar {b}}}}={\frac {a-c}{{\bar {a}}-{\bar {c}}}}}$
3. ${\displaystyle ab\perp cd}$ ako i samo ako ${\displaystyle {\frac {a-b}{{\bar {a}}-{\bar {b}}}}=-{\frac {c-d}{{\bar {a}}-{\bar {d}}}}}$
4. ${\displaystyle \phi =\angle acb}$ (od a do b u pozitivnom smeru) ako i samo ako ${\displaystyle {\frac {c-b}{|c-b|}}=e^{i\phi }{\frac {c-ab}{|c-a|}}}$

Izvori

• Line
• Equations of the Straight Line at Cut-the-Knot
• Citizendium Arhivirano 2022-07-04 na Wayback Machine-u

Prava na Wikimedijinoj ostavi