Max-norma

Norme na ${\displaystyle R^{2}}$ su realne funkcije na${\displaystyle R^{2}}$ koje posjeduju određene osobine.

Svaka norma definiše udaljenost (metriku), uvođenjem p-normi dobili smo razne načine za računanje udaljenosti između dvije tačke.

Primjer

Kružnica je skup tačaka koje su jednako udaljene od neke fiksne tačke, pa će njen oblik zavisiti o normi u kojoj računamo, pa će, kružnice s obzirom na 1-normu i max-normu imati oblik kvadrata.

Kao i u euklidskoj geometriji, omjer obima i prečnika kružnice biće konstantan u svim p-normama. Taj omjer, kojeg označavamo s ${\displaystyle \pi _{r}}$, generalizira broj ${\displaystyle \pi }$.

Na ${\displaystyle R^{2}}$ često se koristi max-norma. To je poseban slučaj p-norme za ${\displaystyle p=\infty }$

${\displaystyle \lVert (x,y)\rVert _{\infty }=max\{|x|,|y|\}}$ za ${\displaystyle \{x,y\}\in R^{2}}$

Teorema za max- normu definisanu sa

${\displaystyle \lVert (x,y)\rVert _{\infty }=max\{|x|,|y|\}}$ za ${\displaystyle \{x,y\}\in R^{2}}$ vazi

${\displaystyle \lim _{p\rightarrow \infty }(\lVert (x,y)\rVert _{p})=\lVert (x,y)\rVert _{\infty }}$ za ${\displaystyle \forall (x,y)\in R^{2}}$

Dokaz

${\displaystyle \lim _{p\rightarrow \infty }(\lVert (x,y)\rVert _{p})=\lim _{p\rightarrow \infty }({\sqrt[{p}]{|x|^{p}+|y|^{p}}})=}$

${\displaystyle {\begin{cases}\lim _{p\rightarrow \infty }(|x|{\sqrt[{p}]{1+|{\frac {y}{x}}|}}\ za\ |x|>|y|\\\lim _{p\rightarrow \infty }(|x|{\sqrt[{p}]{2|}}\ za\|x|=|y|\\\lim _{p\rightarrow \infty }(|x|{\sqrt[{p}]{1+|{\frac {x}{y}}|}}\ za\|x|<|y|\end{cases}}}$

Za ${\displaystyle |x|>|y|}$ je

${\displaystyle \lVert (x,y)\rVert _{\infty }=|x|}$

${\displaystyle {\frac {y}{x}}<1\Rightarrow \lim _{p\rightarrow \infty }|{\frac {y}{x}}|^{p}=0}$

${\displaystyle \lim _{p\rightarrow \infty }(|x|{\sqrt[{p}]{1+|{\frac {y}{x}}|}}=|x|=\lVert (x,y)\rVert _{\infty }}$

Za ${\displaystyle |x|=|y|}$ je

${\displaystyle \lVert (x,y)\rVert _{\infty }=|x|=|y|}$

${\displaystyle \lim _{p\rightarrow \infty }(|x|{\sqrt[{p}]{1+|{\frac {y}{x}}|}}=|x|\lim _{p\rightarrow \infty }({\sqrt[{p}]{1+|{\frac {y}{x}}|}}=|x|\lim _{p\rightarrow \infty }({\sqrt[{p}]{2}}=|x|=\lVert (x,y)\rVert _{\infty }}$

Za ${\displaystyle |x|<|y|}$ je

${\displaystyle {\frac {x}{y}}<1\Rightarrow \lim _{p\rightarrow \infty }|{\frac {x}{y}}|^{p}=0}$

${\displaystyle \lim _{p\rightarrow \infty }(|x|{\sqrt[{p}]{1+|{\frac {x}{y}}|}}=|y|=\lVert (x,y)\rVert _{\infty }}$

Neka su ${\displaystyle T_{1}=(x_{1},y_{1})}$ i ${\displaystyle T_{2}=(x_{2},y_{2})}$ neke dvije tačke ravni. Udaljenost između ${\displaystyle T_{1}}$ i ${\displaystyle T_{2}}$ s obzirom na normu ${\displaystyle \lVert .\rVert }$ računa se kao

${\displaystyle d(T_{1},T_{2})=\lVert (x_{1}-x_{2}),(y_{1}-y_{2})\rVert }$

${\displaystyle d(T_{1},T_{2})_{p}=(|x_{1}|-|x_{2}|)^{p}+(|y_{1}|-|y_{2}|)^{p}}$

Za tačke ${\displaystyle T_{1}=(2,-3)}$ i ${\displaystyle T_{2}=(5,1)}$ imamo

${\displaystyle d(T_{1},T_{2})=\lVert (2-5)+(-3-1)\rVert =\lVert (-3-4)\rVert =7}$

${\displaystyle d_{2}(T_{1},T_{2})={\sqrt {(|2-5|)^{2}+(|-3-1|)^{2}={\sqrt {9+16}}}}=5}$

${\displaystyle d_{\infty }(T_{1},T_{2})=max(|(2-5)|,|(-3-1)|)=4}$

Ako nacrtamo tačke ${\displaystyle T_{1}}$ i ${\displaystyle T_{2}}$ u koordinatnom sistemu, tada je euklidska udaljenost

${\displaystyle d_{2}(T_{1},T_{2})={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-<_{2})^{2}}}}$ jednaka duzini duzi ${\displaystyle {\overline {T_{1}T_{2}}}}$ dok je ${\displaystyle d_{1}(T_{1},T_{2})=|x_{1}-x_{2}|+|y_{1}-y_{2}|}$ dužina iscrtkanih putova od ${\displaystyle T_{1}}$ do ${\displaystyle T_{2}}$.

Uočimo da samo jedan put od ${\displaystyle T_{1}}$ do ${\displaystyle T_{2}}$ ima dužinu ${\displaystyle d_{2}(T_{1},T_{2})}$ i to je najkraći put između ove 2 tačke, dok ${\displaystyle d_{1}(T_{1},T_{2})}$ puteva ima više.

Iako smo naviknuti da udaljenost između dvije tacke računati kao dužinu najkraćeg puta, ponekad nam je korisniji neki drugi način računanja udaljenosti.

Primjer

Pretpostavimo da ulice u nekom gradu čine jednu pravouglu mrežu. Želimo li doći od jednog do drugog mjesta u gradu, tj. od tačke ${\displaystyle T_{1}=(x_{1},y_{1})}$ do ${\displaystyle T_{2}=(x_{2},y_{2})}$, onda će udaljenost koju ćemo preći biti dužina najkraćeg puta koji prolazi zadanim ulicama (što je upravo ${\displaystyle d_{1}(T_{1},T_{2})}$, a ne zraćna udaljenost ${\displaystyle d_{2}(T_{1},T_{2})}$ između ovih tacaka.

Sada je jasno zasšto se ${\displaystyle \lVert (x,y)\rVert _{1}}$ često naziva taxicab -norma, a ponekad i Manhattan norma.

Izvor

p-norme na ${\displaystyle R^{2}}$ , kružnice ${\displaystyle S_{p}}$ i brojevi ${\displaystyle \pi _{p}}$ // Ljiljana Arambašić Ivona Zavišic //Osječki matematički list (10(2010), 131{138)