Моисей Захарович Эльяшов родился 6 апреля (по старому стилю) 1869 года в Ковно в семье купца второй гильдии Залкинда-Калмана Юделевича (Иделевича) Эльяшева (1834—1907) и Хаи-Соры Ароновны Аронзон (1839—?)[3].
В 1894 г. переехал в Двинск, где вступил в шахматный клуб. Наряду с местным игроком Абельманом считался одним из сильнейших шахматистов города. В те же годы участвовал в матче по телеграфу с Рижским шахматным клубом.
Вернувшись в Ковно в 1909 г., стал выступать в российских соревнованиях. В том же году принял участие во Всероссийском турнире любителей, на котором разделил 4-6-е места (+7-4=5) с Д. Данюшевским и Б. Малютиным.
В 1914 г. присутствовал на 19-м конгрессе Германского шахматного союза в Мангейме. После начала Первой Мировой войны турнир был прерван. Российские шахматисты были интернированы. Эльяшов попал в анекдотическую ситуацию. Он был арестован недалеко от моста через Рейн и обвинен в шпионаже (при нём нашли шахматные записи, которые приняли за шифровки). Эльяшов провел в заключении два дня, после чего его освободили благодаря усилиям президента Петербургского шахматного клуба П. П. Сабурова. Эльяшова поселили в Баден-Бадене, откуда ему удалось перебраться в Цюрих.[4]
Эльяшов, М. З. // Словарь шахматиста / составители: М. С. Коган [и др.] ; под общей редакцией проф. А. А. Смирнова. — Л.: Шахматный листок, 1929. — С. 506. — 518 с.