Цепочка Тоды

Цепо́чка То́ды (англ. Toda's chain) — система дискретных нелинейных уравнений, описывающих динамику взаимосвязанных нелинейных осцилляторов. Имеет важное значение в теории колебаний кристаллических решёток.

Система в общем случае имеет вид^[1]:

${\displaystyle m{\ddot {r}}_{n}=2f(r_{n})-f(r_{n+1})-f(r_{n-1})}$

где ${\displaystyle r_{n}(t)}$ имеет смысл величины отклонения n-го осциллятора от положения равновесия, а ${\displaystyle f(r_{i})}$ — нелинейная функция, имеющая смысл возвращающей силы, действующей на i-ый осциллятор. Точки означают взятие операции дифференцирования.

Впервые предложена и проанализирована для случая ${\displaystyle f(t)=-\alpha (1-\exp(-\beta t))}$ Морикадзу Тодой в 1967 году^[2][3].

Эквивалентная форма

Уравнение цепочки Тоды удобно анализировать в эквивалентной форме следующего вида

${\displaystyle {\dot {s}}_{n}=f(r_{n})}$

${\displaystyle m{\dot {r}}_{n}=2s_{n}-s_{n+1}-s_{n-1}}$

Решения

Можно показать, что уравнения, описывающие динамику цепочки Тоды, имеют решения в виде стационарных бегущих волн, имеющих вид

${\displaystyle s_{n}=S(\theta )=S(\omega t-pn)}$

где функция ${\displaystyle S(\theta )}$ в случае, если ${\displaystyle f(r_{i})=-\alpha (1-\exp(-\beta t))}$, удовлетворяет уравнению

${\displaystyle {\frac {m\omega ^{2}}{\beta }}{\frac {S''}{\alpha +\omega S'}}=S(\theta +p)+S(\theta -p)-S(\theta )}$

Решение этого уравнения выражается через эллиптические функции Якоби:

${\displaystyle S(\theta )=bZ(2K\theta )}$

где

${\displaystyle Z(\theta )=E(\theta )-\theta {\frac {E(K)}{K}}}$ — дзета-функция Якоби, имеющая период 2K

${\displaystyle E(\zeta )=\int \limits _{0}^{\zeta }\mathrm {dn} ^{2}zdz}$

Здесь K — полный эллиптический интеграл первого рода. Связь коэффициентов b и ${\displaystyle \omega }$ с параметрами ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ и m достаточно сложна, однако упрощается в предельных случаях.

Функция ${\displaystyle r_{n}}$ находится из соотношения

${\displaystyle -\alpha \left(1-e^{-\beta r_{n}}\right)={\dot {s}}_{n}=2K\omega b\left(\mathrm {dn} ^{2}2K\theta -{\frac {E}{K}}\right)}$

Особым решением является уединённое локализованное решение солитонного типа. Оно может быть получено в пределе ${\displaystyle K\to \infty }$, при одновременном выполнении условий:

${\displaystyle 2K\omega \to \Omega }$

${\displaystyle 2Kp\to P}$

В этом случае эллиптические функции переходят в гиперболические, и решение принимает вид

${\displaystyle -\alpha \left(1-\beta e^{-r_{n}}\right)={\frac {m\Omega ^{2}}{\beta \cosh ^{2}\left[\Omega t-Pn\right]}}}$

М. Тода в своих работах показал, что эти солитоны после взаимодействия друг с другом не изменяют первоначальную форму. Любое начальное распределение в процессе эволюции разделяется на множество солитонов. Точное решение этой задачи было получено методом обратной задачи рассеяния^[4][5].

Примечания

1. Дж. Уизем. Линейные и нелинейные волны. — Мир, 1977. — С. 554. — 622 с.
2. Morikazu Toda. Vibration of a Chain with Nonlinear Interaction (англ.) // J. Phys. Soc. Jpn.. — 1967. — Vol. 22. — P. 431-436.
3. Morikazu Toda. Wave Propagation in Anharmonic Lattices (англ.) // J. Phys. Soc. Jpn.. — 1967. — Vol. 23. — P. 501-506.
4. С. В. Манаков. О полной интегрируемости и стохастизации в дискретных динамических системах // ЖЭТФ. — 1974. — Т. 67, № 2. — С. 543—555.
5. H. Flashka. On the Toda lattice II (англ.) // Progr. Theor. Phys.. — 1974. — Vol. 51. — P. 703—716.

Литература

• Morikazu Toda. Studies of a non-linear lattice (англ.) // Physics Reports. — 1975. — Vol. 18, iss. 1. — P. 1—123.
• Дж. Уизем. Линейные и нелинейные волны. — Мир, 1977. — С. 584—588. — 622 с.