Центрированные многоугольные числа
Центрированные многоугольные числа — класс плоских -угольных фигурных чисел (), получаемый следующим геометрическим построением. Сначала на плоскости фиксируется некоторая центральная точка. Затем вокруг неё строится правильный -угольник с точками вершин, каждая сторона содержит две точки (см. рисунок). Далее снаружи строятся новые слои -угольников, причём каждая их сторона на новом слое содержит на одну точку больше, чем в предыдущем слое, то есть начиная со второго слоя каждый следующий слой содержит на больше точек, чем предыдущий. Общее число точек внутри каждого слоя и принимается в качестве центрированного многоугольного числа (точка в центре считается начальным слоем)[1].
Примеры построения центрированных многоугольных чисел:
Треугольные
|
Квадратные
|
Пятиугольные
|
Шестиугольные
|
|
|
|
|
Из построения видно, что центрированные многоугольные числа получаются как частичные суммы следующего ряда: (например, центрированные квадратные числа, для которых образуют последовательность: ) Этот ряд можно записать как , откуда видно, что в скобках — порождающий ряд для классических треугольных чисел. Следовательно, каждая последовательность центрированных -угольных чисел, начиная со 2-го элемента, может быть представлена как где — последовательность треугольных чисел. Например, центрированные квадратные числа — это учетверённые треугольные числа плюс 1, порождающий ряд для них имеет вид: [2]
Общая формула[2] для -го центрированного -угольного числа :
|
(ОЦФ)
|
Сводная таблица
Число углов k |
Тип числа |
Начало последовательности |
Ссылка на OEIS
|
3 |
Центрированные треугольные числа |
1, 4, 10, 19, 31, … |
A005448
|
4 |
Центрированные квадратные числа |
1, 5, 13, 25, 41, … |
A001844
|
5 |
Центрированные пятиугольные числа |
1, 6, 16, 31, 51, … |
A005891
|
6 |
Центрированные шестиугольные числа |
1, 7, 19, 37, 61, … |
A003215
|
7 |
Центрированные семиугольные числа |
1, 8, 22, 43, 71, … |
A069099
|
8 |
Центрированные восьмиугольные числа |
1, 9, 25, 49, 81, … |
A016754
|
9 |
Центрированные девятиугольные числа |
1, 10, 28, 55, 91, … |
A060544
|
10 |
Центрированные десятиугольные числа |
1, 11, 31, 61, 101, … |
A062786
|
и так далее.
Примечания
Литература
Ссылки
|
|