Хиральный узел

В теории узлов хиральный узел — это узел, который не эквивалентен своему зеркальному отражению. Ориентированный узел, эквивалентный своему зеркальному отражению, называется амфихиральным узлом или ахиральным узлом. Хиральность узла является инвариантом узла. Хиральность узлов можно далее классифицировать в зависимости от того, обратим он или нет.

Существует только 5 типов симметрий узлов, определяемых хиральностью и обратимостью — полностью хиральный, обратимый, положительно амфихиральный необратимый, отрицательно амфихиральный необратимый и полностью амфихиральный обратимый ^[1].

История вопроса

Хиральность некоторых узлов давно подозревалась и доказана Максом Деном в 1914 году. П. Г. Тэт высказал гипотезу, что все амфихиральные узлы имеют чётное число пересечений, но Морвен Тислуэйт^[англ.] в 1998 году нашёл контрпример^[2]. Однако гипотеза Тэйта доказана для простых альтернированных узлов^[3].

Число узлов каждого вида хиральности для каждого числа пересечений

Число пересечений	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	OEIS sequence
Хиральные узлы	1	0	2	2	7	16	49	152	552	2118	9988	46698	253292	1387166	N/A
Двусторонние узлы	1	0	2	2	7	16	47	125	365	1015	3069	8813	26712	78717	A051769
Полностью хиральные узлы	0	0	0	0	0	0	2	27	187	1103	6919	37885	226580	1308449	A051766
Амфихиральные узлы	0	1	0	1	0	5	0	13	0	58	0	274	1	1539	A052401
Положительно амфихиральные узлы	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	6	0	65	A051767
Отрицательно амфихиральные узлы	0	0	0	0	0	1	0	6	0	40	0	227	1	1361	A051768
Полностью амфихиральные узлы	0	1	0	1	0	4	0	7	0	17	0	41	0	113	A052400

• Оба возможных трилистника.
• 
  Левый трилистник.
• 
  Правый трилистник.

Простейший хиральный узел — трилистник, хиральность которого показал Макс Ден. Все торические узлы хиральны. Многочлен Александера не может определить хиральность узла, а вот многочлен Джонса в некоторых случаях может. Если V_k(q) ≠ V_k(q⁻¹), то узел хирален, однако обратное не обязательно верно. Многочлен HOMFLY ещё лучше распознаёт хиральность, но пока не известно полиномиального инварианта узла, который бы полностью определял хиральность^[4].

Двусторонний узел

Обратимый хиральный узел называется двусторонним^[5]. Среди примеров двусторонних узлов — трилистник.

Полностью хиральный узел

Если узел не эквивалентен ни своему обратному, ни своему зеркальному образу, он называется полностью хиральным, пример — узел 9 32^[5].

Амфихиральный узел

восьмёрка является простейшим амфихиральным узлом.

Амфихиральный узел — это узел, имеющий автогомеоморфизм α 3-сферы, который обращает ориентацию и фиксирует узел как множество.

Все амфихиральные альтернированные имеют чётное число пересечений. Первый амфихиральный узел с нечётным числом пересечений, а именно с 15 пересечениями, нашёл Хосте (Hoste) и др.^[3]

Полная амфихиральность

Если узел изотопен своему обратному и своему зеркальному образу, его называют полностью амфихиральным. Простейшим узлом с этим свойством является восьмёрка.

Положительная амфихиральность

Если автогомеоморфизм α сохраняет ориентацию узла, говорят о положительной амфихиральности. Это эквивалентно изотопичности узла своему зеркальному отражению. Никакой из узлов с числом пересечений меньшим двенадцати не является положительно амфихиральным^[5].

Отрицательная амфихиральность

Первый отрицательно амфихиральный узел.

Если автогомеоморфизм α обращает ориентацию узла, говорят об отрицательной амфихиральности. Это эквивалентно изотопичности узла обратному зеркальному отражению. Узел с этим свойством с минимальным числом пересечением — это 8₁₇^[5].

Примечания

1. Hoste, Thistlethwaite, Weeks, 1998, с. 33—48.
2. Jablan, Slavik & Sazdanovic, Radmila. «History of Knot Theory and Certain Applications of Knots and Links Архивная копия от 20 августа 2011 на Wayback Machine», LinKnot.
3. Weisstein, Eric W. Amphichiral Knot (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Accessed: May 5, 2013.
4. «Chirality of Knots 9₄₂ and 10₇₁ and Chern-Simons Theory» by P. Ramadevi, T. R. Govindarajan, and R. K. Kaul  (неопр.). Дата обращения: 11 июня 2015. Архивировано 1 марта 2020 года.
5. Three Dimensional Invariants Архивная копия от 17 февраля 2020 на Wayback Machine Knot Atlas

Литература

• Jim Hoste, Morwen Thistlethwaite, Jeff Weeks. The first 1,701,936 knots // The Mathematical Intelligencer. — 1998. — Т. 20, вып. 4. — doi:10.1007/BF03025227. Архивировано 15 декабря 2013 года.