Графическое представление функции Дирихле: две параллельные и, казалось бы, сплошные линии. Синяя (или красная) линия представляет собой рациональные (или иррациональные) числа, плотно расположенные в вещественных числах Функция Дирихле́ — функция , принимающая значение единица на рациональных числах и ноль — на иррациональных , стандартный пример всюду разрывной функции . Введена в 1829 году немецким математиком Дирихле .[ 1]
Символически, функция Дирихле
D
:
R
→ → -->
{
0
,
1
}
{\displaystyle D:\mathbb {R} \rightarrow \{0,1\}}
[ 2]
D
(
x
)
=
{
1
,
x
∈ ∈ -->
Q
;
0
,
x
∈ ∈ -->
I
.
{\displaystyle D(x)={\begin{cases}1,&x\in \mathbb {Q} ;\\0,&x\in \mathbb {I} .\end{cases}}}
Принадлежит второму классу Бэра , то есть её нельзя представить как (поточечный) предел последовательности непрерывных функций, но можно представить как повторный предел последовательности непрерывных функций[ 3] [ 4]
D
(
x
)
=
lim
m
→ → -->
∞ ∞ -->
lim
n
→ → -->
∞ ∞ -->
cos
2
n
-->
(
m
!
π π -->
x
)
{\displaystyle D(x)=\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }\cos ^{2n}(m!\pi x)}
Каждая точка в области определения является точкой разрыва второго рода (причём существенного).[ 5]
Является периодической функцией , её периодом является любое рациональное число, не равное нулю; основного периода функция не имеет.[ 6]
Не является интегрируемой в смысле Римана .[ 7] Простая функция ; измерима по отношению к мере Лебега ; интеграл Лебега от функции Дирихле на любом числовом промежутке равен нулю, это следует из того, что мера Лебега множества рациональных чисел равна нулю.
Вариацией функции Дирихле является функция Римана , называемая также, «функцией Тома» (Thomae ).
↑ Ferreiros, 2013 , с. 150.↑ Фихтенгольц, 2003 , с. 115.↑ Dunham, 2005 , с. 197.↑ Рудин, 1976 , с. 162 Пример 7.5.↑ Зорич, 2019 , с. 145.↑ encyclopediamath , comment.↑ Никольский, 1983 , с. 357.
Jose Ferreiros. Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics. — 2013. — 440 с.Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 8-е изд.. — Физматлит, 2003. — Т. 1.С.М. Никольский. Курс математического анализа. — Москва: «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1983. — Т. 1.Dirichlet-function (неопр.) . Encyclopedia of Mathematics .В. Немыцкий, М. Слудская, А. Черкасов. Курс математического анализа. — Москва, Ленинград: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1940. — Т. 1.William Dunham. The Calculus Gallery . — Princeton University Press, 2005. — ISBN 0-691-09565-5 .У. Рудин. Основы математического анализа. — Москва: «Мир», 1976.В. А. Зорич. Математический анализ. Часть 1. — 10-е изд., исправленное. — Москва: МЦНМО, 2019.
Ссылки на внешние ресурсы
Словари и энциклопедии
