Формула Бейкера — Кэмпбелла — Хаусдорфа

Формула Бейкера — Кэмпбелла — Хаусдорфа определяет выражение для ${\displaystyle Z}$ из следующего равенства

${\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{Z}}$

здесь ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ и ${\displaystyle Z}$ — элементы алгебры Ли близкие к нулю. Выражение на ${\displaystyle Z}$ является довольно сложным рядом с членами составленными из скобок Ли от ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$.

Существование этой формулы играет ключевую роль в доказательстве того, что алгебра Ли полностью определяет локальную структуру своей группы Ли. Частный случай этой формулы применяется в квантовой механике и особенно в квантовой оптике.

Формула

Существует несколько вариантов для записи ${\displaystyle Z}$. Если представить ${\displaystyle Z}$ в виде разложения в ряд, то первые несколько членов будут иметь вид:

${\displaystyle {\begin{aligned}Z(X,Y)&=\log(\exp X\exp Y)=\\&{}=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}\left([X,[X,Y]]+[Y,[Y,X]]\right)-\\&{}\quad -{\frac {1}{24}}[Y,[X,[X,Y]]]-\\&{}\quad -{\frac {1}{720}}\left([Y,[Y,[Y,[Y,X]]]]+[X,[X,[X,[X,Y]]]]\right)+\\&{}\quad +{\frac {1}{360}}\left([X,[Y,[Y,[Y,X]]]]+[Y,[X,[X,[X,Y]]]]\right)+\\&{}\quad +{\frac {1}{120}}\left([Y,[X,[Y,[X,Y]]]]+[X,[Y,[X,[Y,X]]]]\right)+\\&{}\quad +\cdots \end{aligned}}}$

где "${\displaystyle \cdots }$" содержит слагаемые более высоких порядков.

Наиболее общее выражение для ${\displaystyle Z}$ дается формулой Дынкина ^[1]:

${\displaystyle Z}$ = ${\displaystyle \log(\exp X\exp Y)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}\sum _{\begin{smallmatrix}r_{1}+s_{1}>0\\\vdots \\r_{n}+s_{n}>0\end{smallmatrix}}{\frac {[X^{r_{1}}Y^{s_{1}}X^{r_{2}}Y^{s_{2}}\dotsm X^{r_{n}}Y^{s_{n}}]}{(\sum _{j=1}^{n}(r_{j}+s_{j}))\cdot \prod _{i=1}^{n}r_{i}!s_{i}!}},}$

здесь суммирование проводится по всем неотрицательным значениям ${\displaystyle s_{i}}$ и ${\displaystyle r_{i}}$, и приняты следующие обозначения:

${\displaystyle [X^{r_{1}}Y^{s_{1}}\dotsm X^{r_{n}}Y^{s_{n}}]=[\underbrace {X,[X,\dotsm [X} _{r_{1}},[\underbrace {Y,[Y,\dotsm [Y} _{s_{1}},\,\dotsm \,[\underbrace {X,[X,\dotsm [X} _{r_{n}},[\underbrace {Y,[Y,\dotsm Y} _{s_{n}}]]\dotsm ]].}$

Примечания

1. N. Jacobson. Enveloping Algebras of Semi-Simple Lie Algebras // Nathan Jacobson Collected Mathematical Papers. — Boston, MA: Birkhäuser Boston, 1989. — С. 77–86. — ISBN 9781461282150, 9781461236948.