Форма пересечений

Форма пересечений ориентированного компактного 4-мерного многообразия — определённая симметричная билинейная форма на 2-й группе когомологий многообразия.

Эта форма отражает большую часть топологии многообразия, в том числе информацию о наличии гладкой структуры.

Определение

Форма пересечений

${\displaystyle Q_{M}\colon H^{2}(M;\mathbb {Z} )\times H^{2}(M;\mathbb {Z} )\to \mathbb {Z} }$

определяется как

${\displaystyle Q_{M}(a,b)=\langle a\cup b,[M]\rangle .}$

Если многообразие гладкое, то в определении можно пользоваться когомологиями де Рама, представив a и b 2-формами α и β. Тогда форма пересечений задаётся интегралом

${\displaystyle Q(a,b)=\int \limits _{M}\alpha \wedge \beta }$,

где ${\displaystyle \wedge }$ обозначает внешнее произведение, см. внешняя алгебра.

Связанные определения

• Сигнатура формы пересечений образуют важный инвариант, который называется сигнатурой многообразия.

Двойственное определение

Двойственность Пуанкаре позволяет рассматривать форму пересечений как форму на 2-х группах гомологий. Для этого надо представить элементы группы трансверсально пересекающимися поверхностями и затем посчитать число точек пересечения с кратностями +1 или −1 в зависимости от ориентации пересечения.

Свойства

• Согласно формуле Ву, четырёхмерное спинорное многообразие имеет чётную форму пересечений, то есть Q(Х,Х) чётно для каждого X.
  • Для односвязных 4-мерных многообразий (или, в более общем случае, для многообразий без 2-кручения в первой гомологии) обратное также верно.
• 4-мерное многообразие является границей 5-мерного тогда и только тогда, когда оно имеет нулевую сигнатуру.
• 4-мерные спин-многообразия имеют сигнатуру, кратную восьми.
  • Более того, согласно теореме Рохлина, гладкие компактные 4-мерные спин-многообразия имеют сигнатуру, кратную 16.
• По теореме Фридмана, для любой унимодулярной симметрической билинейной формы над кольцом целых чисел существует односвязное замкнутое 4-мерное многообразие с такой формой пересечения. Более того:
  • Для чётных форм существует только одно такое многообразие.
  • Если форма нечётна, то существует два таких многообразия, и как минимум одно (возможно, оба) не имеет гладкой структуры.

Таким образом, два односвязных замкнутых гладких 4-мерных многообразия с одинаковой формой пересечения гомеоморфны.

• В нечётном случае два многообразия отличаются отличаются своими инвариантами Кёрби — Зибенманна.

• По теореме Дональдсона, если гладкое односвязное 4-мерное многообразие имеет положительно определенную форму пересечений, то она диагонализуема.
  • Отсюда следует существование большого числа несглаживаемых 4-мерных многообразий, например E8-многообразие.

Вариации и обобщения

• Для неориентируемых 4-мерных многообразий аналогично строится форма пересечений с коэффициентами в ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$.
• Форму пересечений возможно построить на многообразиях произвольной чётной размерности. При этом она является симметричной, если размерность делится на 4, и антисимметричной в противном случае.
  • Сигнатура 4n-мерного многообразия определяется как сигнатура его формы пересечений; она может быть вычислена из классов Понтрягина, см. также род многообразия.

Ссылки

• Scorpan, A. (2005), The wild world of 4-manifolds, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3749-4