Уравнение Фридмана

Уравнение Фридмана — в космологии уравнение, описывающее развитие во времени однородной и изотропной Вселенной (Вселенной Фридмана) в рамках общей теории относительности. Названо по имени Александра Александровича Фридмана, который первым вывел это уравнение в 1922 году^[1].

Уравнение Фридмана

Уравнение Фридмана записывается для метрики Фридмана — синхронной метрики однородного изотропного пространства (пространства постоянной кривизны)^[2],

${\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-a(t)^{2}dl^{2}\,,}$

где ${\displaystyle dl^{2}}$ — элемент длины в пространстве постоянной кривизны, ${\displaystyle a(t)}$ — масштаб («размер») вселенной.

Пространство постоянной кривизны может быть трёх видов — сфера (закрытое), псевдосфера (открытое), и плоское пространство.

Сферические координаты

Закрытая (конечная) вселенная с положительной кривизной пространства

Для закрытой вселенной метрика Фридмана равна

${\displaystyle ds^{2}=a(\eta )^{2}\left(d\eta ^{2}-d\chi ^{2}-\sin ^{2}\chi (d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})\right)\,,}$

где ${\displaystyle r=a\cdot \sin \chi }$ — фотометрическое расстояние, ${\displaystyle \chi \in [0,\pi ]}$; ${\displaystyle \theta ,\,\phi }$ — сферические углы; ${\displaystyle \eta }$ — масштабированное время, ${\displaystyle ad\eta =dt}$.

Компоненты тензора Риччи для этой метрики равны

${\displaystyle R_{\chi }^{\chi }=R_{\theta }^{\theta }=R_{\phi }^{\phi }=-{\frac {1}{a^{4}}}(2a^{2}+a'^{2}+aa'')\;,}$

${\displaystyle R_{\eta }^{\eta }={\frac {3}{a^{4}}}(a'^{2}-aa'')\;,}$

${\displaystyle R=-{\frac {6}{a^{3}}}(a+a'')\;,}$

где штрих означает дифференцирование по ${\displaystyle \eta }$.

Для идеальной жидкости тензор энергии-импульса равен

${\displaystyle T_{ab}=(\epsilon +p)u_{a}u_{b}-pg_{ab}\,,}$

где ${\displaystyle \epsilon }$ плотность энергии, ${\displaystyle p}$—давление. В синхронных координатах материя находится в состоянии покоя, поэтому 4-скорость равна ${\displaystyle u^{a}=\{{\frac {1}{a(t)}},0,0,0\}}$.

Временная компонента уравнения Эйнштейна,

${\displaystyle R_{\eta }^{\eta }-{\frac {1}{2}}R=\kappa {}T_{\eta }^{\eta }\,,}$

с указанным тензором Риччи и тензором энергии-импульса и является уравнением Фридмана,

${\displaystyle {\frac {3}{a^{4}}}(a^{2}+a'^{2})=\kappa \epsilon \,.}$

Если связь плотности энергии ${\displaystyle \epsilon }$ и давления ${\displaystyle p}$ (уравнение состояния) известна, то можно найти зависимость плотности энергии от масштаба вселенной ${\displaystyle a}$, используя уравнение сохранения энергии

${\displaystyle d\epsilon =-(\epsilon +p){\frac {3da}{a}}\,.}$

В этом случае можно выразить решение уравнения Фридмана в виде интеграла,

${\displaystyle \eta =\pm \int {\frac {da}{a{\sqrt {{\frac {1}{3}}\kappa \epsilon a^{2}-1}}}}\,.}$

Открытая (бесконечная) вселенная с отрицательной кривизной пространства

Для открытой вселенной метрика Фридмана равна

${\displaystyle ds^{2}=a(\eta )^{2}\left(d\eta ^{2}-d\chi ^{2}-\sinh ^{2}\chi (d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})\right)\,,}$

где ${\displaystyle r=a\cdot \sinh \chi }$, ${\displaystyle \chi \in [0,\infty ]}$; ${\displaystyle \theta ,\,\phi }$ — сферические углы; ${\displaystyle \eta }$ — масштабированное время, ${\displaystyle ad\eta =dt}$.

Очевидно, эта метрика получается из метрики закрытой вселенной подстановкой ${\displaystyle \{a,\eta ,\chi \}\to \{ia,i\eta ,i\chi \}}$.

Соответственно уравнение Фридмана для открытой вселенной есть

${\displaystyle {\frac {3}{a^{4}}}(-a^{2}+a'^{2})=\kappa \epsilon \,.}$

Открытая (бесконечная) и плоская вселенная

Для плоской вселенной метрика Фридмана равна

${\displaystyle ds^{2}=a(\eta )^{2}\left(d\eta ^{2}-d\chi ^{2}-\chi ^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})\right)\,,}$

где ${\displaystyle r=a\chi }$, ${\displaystyle \chi \in [0,\infty ]}$; ${\displaystyle \theta ,\,\phi }$ — сферические углы; ${\displaystyle \eta }$ — масштабированное время, ${\displaystyle ad\eta =dt}$.

Очевидно, эта метрика формально получается из метрики закрытой вселенной в пределе ${\displaystyle r\ll a\to \infty }$.

Замечая, что ${\displaystyle a'/a^{2}={\dot {a}}/a}$, где ${\displaystyle {\dot {a}}\equiv da/dt}$, уравнение Фридмана для плоской вселенной получается в указанном пределе как

${\displaystyle 3{\frac {{\dot {a}}^{2}}{a^{2}}}=\kappa \epsilon \,.}$

Приведённые радиальные координаты

Основная статья: en:Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker metric § Reduced-circumference polar coordinates

В этих координатах метрика пространства с постоянной кривизной равна

${\displaystyle dl^{2}={\frac {dr^{2}}{1-kr^{2}}}+r^{2}d\Omega ^{2},}$

где ${\displaystyle \theta ,\phi }$ — сферические угловые координаты;

${\displaystyle r}$ — приведённая радиальная координата, определяемая следующим образом: длина окружности радиуса ${\displaystyle r}$ с центром в начале координат равна ${\displaystyle 2\pi r;}$

${\displaystyle k}$ — константа, принимающей значение 0 для плоского пространства, +1 для пространства с постоянной положительной кривизной, −1 для пространства с постоянной отрицательной кривизной;

${\displaystyle d\Omega ^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}.}$

Решения уравнения Фридмана

Уравнение Фридмана может быть проинтегрировано аналитически для двух важных предельных случаев — вселенной, заполненной пылью, и вселенной, заполненной излучением.

Примечания

1. Friedman, A. Über die Krümmung des Raumes (нем.) // Zeitschrift für Physik : magazin. — 1922. — Bd. 10, Nr. 1. — S. 377—386. — doi:10.1007/BF01332580. — Bibcode: 1922ZPhy...10..377F. (English translation: Friedman, A. On the Curvature of Space (англ.) // General Relativity and Gravitation : journal. — 1999. — Vol. 31, no. 12. — P. 1991—2000. — doi:10.1023/A:1026751225741. — Bibcode: 1999GReGr..31.1991F.). The original Russian manuscript of this paper is preserved in the Ehrenfest archive Архивная копия от 29 июля 2020 на Wayback Machine.
2. Gerard 't Hooft, Introduction to General Relativity, ISBN 978-1589490000, ISBN 1589490002

Ссылки

• Liebscher, Dierck-Ekkehard. Expansion // Cosmology. — Berlin : Springer, 2005. — P. 53–77. — ISBN 3-540-23261-3.