Удвоение куба

Удвоение куба — классическая античная задача на построение циркулем и линейкой ребра куба, объём которого вдвое больше объёма заданного куба^[1].

Наряду с трисекцией угла и квадратурой круга, является одной из самых известных неразрешимых задач на построение с помощью циркуля и линейки. Эти задачи сыграли важнейшую роль в истории математики.

История

Согласно античной легенде, однажды на острове Делос разразилась эпидемия чумы. Жители острова обратились к дельфийскому оракулу, и тот сообщил, что необходимо удвоить жертвенник святилища, который имел форму куба. Жители Делоса соорудили второй куб и поставили его на первый, но эпидемия не прекратилась. После повторного обращения оракул разъяснил, что удвоенный жертвенник должен быть единым кубом.

С тех пор делийской задачей занимались лучшие математики античного мира, было предложено несколько решений, однако никто не смог выполнить такое построение, используя только циркуль и линейку, поэтому постепенно сложилось общее убеждение в неразрешимости такой задачи. Ещё Аристотель в IV веке до н. э. писал: «Посредством геометрии нельзя доказать, что… два куба составляют один куб»^[2].

Попытки решения

• Гиппократ Хиосский (конец V в. до н. э.) показал, что задача сводится к нахождению двух средних пропорциональных между одним отрезком и другим, вдвое большим его. В современных обозначениях — к нахождению ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ таких, что

  ${\displaystyle {\frac {a}{x}}={\frac {x}{y}}={\frac {y}{2a}}}$. Отсюда ${\displaystyle x^{3}=2a^{3}}$.

• Архит Тарентский (начало IV в. до н. э.) предложил решение, основанное на пересечении тора, конуса и кругового цилиндра.
• Платон (первая половина IV в. до н. э.) предложил механическое решение, основанное на построении трёх прямоугольных треугольников с нужным соотношением сторон.
• Менехм (середина IV в. до н. э.) нашёл два решения этой задачи, основанные на использовании конических сечений. В первом решении отыскивается точка пересечения двух парабол, а во втором — параболы и гиперболы.
• Эратосфен (III в. до н. э.) предложил ещё одно решение, в котором используется специальный механический инструмент — мезолябия, а также описал решения своих предшественников.
• Никомед (II в. до н. э.) использовал для решения этой задачи метод вставки, выполняемой с помощью специальной кривой — конхоиды.
• Группа схожих между собой решений, принадлежащих Аполлонию, Филону Византийскому и Герону, также использует метод вставки.
• В ещё одной группе схожих между собой решений, принадлежащих Диоклу, Паппу и Спору, используется та же идея, что и в решении Платона, при этом Диокл применяет для построения специальную кривую — циссоиду.

Свои решения также предложили Виет, Декарт, Грегуар де Сен-Венсан, Гюйгенс, Ньютон.

Неразрешимость

В современных обозначениях задача сводится к решению уравнения ${\displaystyle x^{3}=2a^{3}}$. Решение имеет вид ${\displaystyle x=a{\sqrt[{3}]{2}}}$. Всё сводится к проблеме построения отрезка длиной ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$. В 1837 году Пьер Ванцель доказал, что эта задача не может быть решена с помощью циркуля и линейки.

Решение с помощью дополнительных средств

Рис. 1 Удвоение куба с помощью невсиса

Удвоение куба неразрешимо с помощью циркуля и линейки, однако его можно осуществить, используя некоторые дополнительные инструменты.

• Удвоение куба возможно осуществить построением с помощью плоского оригами^[3].
• Удвоение куба возможно осуществить с помощью невсиса. Возьмём равносторонний треугольник MPN со стороной a, продлим сторону PN и на расстоянии a от точки N построим точку R (рис. 1). Продлим влево отрезки NM и RM. Возьмём линейку невсиса с диастемой a и, используя прямую NM в качестве направляющей, точку P в качестве полюса и прямую RM в качестве целевой линии, построим отрезок AB. Длина отрезка BP соответствует стороне куба удвоенного объёма по сравнению с кубом со стороной a.

Литература

• Белозеров С. Е. Пять знаменитых задач древности. История и современная теория. — Ростов: изд-во Ростовского университета, 1975. — 320 с.
• Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — С. 324-325.
• Прасолов В. В. Три классические задачи на построение. Удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга. — М.: Наука, 1992. — 80 с. — (Популярные лекции по математике, выпуск 62).
• Чистяков В. Д. Три знаменитые задачи древности. — М.: Гос. уч.-пед. изд-во Министерства просвещения РСФСР, 1963. — С. 8—28. — 96 с..
• Щетников А. И. Как были найдены некоторые решения трёх классических задач древности? // Математическое образование. — 2008. — № 4 (48). — С. 3—15.
• Щетников А. И. Как были найдены некоторые решения задачи об удвоении куба? Историко-математические исследования, № 15 (50), 2014, С. 65—78.

Примечания

1. Удвоение куба // Большая советская энциклопедия / В. А. Введенский. — 2-е издание. — Большая советская энциклопедия, 1956. — Т. 43. — С. 648. — 300 000 экз.
2. Аристотель. Вторая аналитика, часть I, гл. 7. М.: Госполитиздат, 1952.
3. Петрунин А. Плоское оригами и построения (рус.) // Квант. — 2008. — № 1. — С. 38—40.