Трубчатая окрестность

Синим цветом нарисована кривая, зеленым — линии, ей перпендикулярные, красным — её трубчатая окрестность.

Трубчатая окрестность подмногообразия в многообразии — это открытое множество, окружающее подмногообразие и локально устроенное подобно нормальному расслоению.

Мотивация

В обозначениях статьи, синяя кривая — это подмногообразие S, красным обозначена её трубчатая окрестность T=j(N).

Поясним понятие трубчатой окрестности на простом примере. Рассмотрим на плоскости гладкую кривую без самопересечений. В каждой точке кривой построим линию перпендикулярную к этой кривой. Если кривая не является прямой, эти перпендикуляры могут пересекаться друг с другом весьма сложным образом. Тем не менее, если рассматривать очень узкую ленточку вокруг кривой, кусочки перпендикуляров, лежащих в ленточке, не пересекутся и покроют всю её без лакун. Такая ленточка и является трубчатой окрестностью кривой.

В общем случае рассмотрим подмногообразие ${\displaystyle S\subset M}$ многообразия M и N — нормальное расслоение к подмногообразию S в M. В этом случае S играет роль кривой, а M — роль плоскости, содержащей эту кривую. Рассмотрим естественное отображение

${\displaystyle i:N_{0}\rightarrow S}$,

которое устанавливает взаимно-однозначное соответствие между нулевым сечением ${\displaystyle N_{0}}$ расслоения N и подмногообразием S из M. Пусть j — продолжение этого отображения на все нормальное расслоение N со значениями в многообразии M, причём j(N) является открытым множеством в M, а j — гомеоморфизмом между N и j(N). Тогда j называется трубчатой окрестностью.

Часто трубчатой окрестностью подмногообразия S называют не само отображение j, а его образ T=j(N), подразумевая тем самым существование гомеоморфизма j между множествами N и T.

Свойства

• Для замкнутого гладкого подмногообразия ${\displaystyle N}$ риманого многообразия, множество ${\displaystyle N_{\varepsilon }}$ точек на расстоянии ${\displaystyle <\varepsilon }$ от ${\displaystyle N}$ образует трубчатую окрестность ${\displaystyle N}$ при всех достаточно малых положительных значениях ${\displaystyle \varepsilon }$.

См. также

• Формула трубки

Литература

• М. Хирш Дифференциальная топология. — М: Мир, 1979.[1]