Тороидальная система координат

Тороидальная система координат — ортогональная система координат в пространстве, координатными поверхностями которой являются торы, сферы и полуплоскости. Данная система координат может быть получена посредством вращения двумерной биполярной системы координат вокруг оси, равноудалённой от фокусов биполярной системы.

Определение

Тороидальная система координат определяется посредством формул перехода из этих координат в декартовы координаты:

,

где  — масштабный множитель и радиус окружности в которую вырождается тороидальная координатная поверхность при . Пределы изменения координаты . Обращаясь в бесконечность на указанной окружности, она стремится к нулю на бесконечности, а также в любой точке оси . Две другие координаты являются циклическими с периодом , например можно выбрать

Формулы перехода из тороидальных координат в цилиндрические координаты :

Для обратного преобразования при известных цилиндрических координатах точки вычисляют значения  — максимальное и минимальное расстояние от данной точки до окружности , через которые затем выражаются

Альтернативное определение

В русскоязычной литературе тороидальными могут называться и более простые координаты , такие, что:

(в англоязычной литературе такие координаты называют англ. tubal, а не англ. toroidal). В этом случае циклические координаты называют полоидальным и тороидальным углами соответственно. В приложении к расчётам тородальных плазменных конфигураций, таких как токамак, помимо этих терминов ещё используется термин „магнитная ось“ для окружности , на которой . Вблизи магнитной оси координаты для обеих систем приближенно совпадают, а координаты и связываются между собой соотношением: . Могут также вводиться криволинейные потоковые координаты[1], в которых координатными поверхностями являются топологически тороидальные магнитные поверхности (на которых давление плазмы постоянно, а нормальная компонента магнитного поля равна нулю. В этом случае являющаяся аналогом переменных или „потоковая“ координата служит только „меткой“ магнитной поверхности и её числовое значение несущественно.

Свойства

Координатные поверхности

торы

,

сферы

,

полуплоскости

.

Дифференциальные характеристики

Он является диагональным, так как тороидальная система координат является ортогональной.

  • Квадрат линейного элемента:
.
  • Квадрат элемента площади:
.
  • Элемент объёма:
.
.
.

Вид дифференциальных операторов в тороидальных координатах

  • Градиент скалярной функции в тороидальных координатах задается следующим выражением:

Дифференциальные уравнения в тороидальных координатах

Уравнение Лапласа в тороидальных координатах имеет вид:

Решение удобно искать в виде:

,

тогда уравнение для функции :

.

После чего можно разделить переменные:

.

В результате получится система:

В случае уравнения Гельмгольца в тороидальных координатах переменные не делятся.

Примечания

Литература

  • Корн Г., Корн Т. Глава 6. Системы криволинейных координат. 6.5 Формулы для ортогональных систем координат // Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — С. 195. — 832 с.
  • Морс Ф. М., Фешбах Г. Глава 5. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Таблица разделяющих координат для трёх измерений // Методы теоретической физики. — М.: Изд-во иностранной литературы, 1958. — Т. 1. — С. 622. — 930 с.
  • Тихонов А. Н., Самарский А. А. Часть IV. Формулы, таблицы, графики. IV. Различные ортогональные системы координат // Уравнения математической физики. — 7-е изд. — М.: Изд-во МГУ; Наука, 2004. — С. 732—733. — 798 с. — ISBN 5-211-04843-1.

Ссылки

Read other articles:

Former railway line in Victoria, Australia The Coleraine railway line was a railway line branching off of the Portland railway line at Coleraine Junction station. It was opened on November 20, 1888, and was officially closed on September 12, 1977. It is now a Rail trail.[1][2][3][4][5][6][7][8][9][10][11] ColeraineOverviewOther name(s)Hamilton-ColeraineStatusclosedOwnerVicTrackTerminiColeraine JunctionCole...

 

اضغط هنا للاطلاع على كيفية قراءة التصنيف خرم الإبرة البحري المرتبة التصنيفية نوع  التصنيف العلمي النطاق: حقيقيات النوى المملكة: النباتات الفرقة العليا: النباتات الجنينية القسم: النباتات الوعائية الشعبة: حقيقيات الأوراق الشعيبة: البذريات الطائفة: ثنائيات الفلقة الطويئ...

 

Una decorazione della NATO è una decorazione militare internazionale conferita a vari militari del mondo, sotto l'egida dell'Organizzazione del Trattato del Nord Atlantico. Vi sono a tutt'oggi nove versioni della medaglia per il servizio prestato in Paesi quali Jugoslavia, Kosovo e Macedonia, due versioni per le operazioni cosiddette dell'articolo quinto (Eagle Assist ed Active Endeavor) e tre versioni per le operazioni della NATO non facenti riferimento all'articolo quinto (ISAF, Balkani, N...

Este artículo o sección tiene referencias, pero necesita más para complementar su verificabilidad.Puedes avisar al redactor principal pegando lo siguiente en su página de discusión: {{sust:Aviso referencias|Vilayato de Montenegro}} ~~~~Este aviso fue puesto el 23 de septiembre de 2023. Vilayato de MontenegroVilâyeti Karadağ (turco) Vilajet Crna Gora (montenegrino) Estado vasallo del Imperio Otomano 1528-1696 BanderaEntidad Estado vasallo del Imperio OtomanoGentilicio Montenegrino otoma...

 

Albanian Swimming FederationFederata Shqiptare e NotitSportSwimmingJurisdictionAlbaniaAbbreviationFSHNFounded1931AffiliationFINAAffiliation date1992Regional affiliationLENAffiliation date1992HeadquartersTiranaPresidentAgim ÇirakuSecretarySuela Haxhija, Secretary GeneralOfficial websitefshn.org.al The Albanian Swimming Federation (Albanian: Federata Shqiptare e Notit (FSHN)) is the national governing body of aquatic sports in Albania, ranging from swimming, diving, synchronized swimming, open...

 

Cet article est une ébauche concernant une athlète allemande. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants. Pour les articles homonymes, voir Jahn. Bettine JahnBettine Jahn en 1983.BiographieNaissance 3 août 1958 (65 ans)MagdebourgNationalités est-allemandeallemandeActivité AthlèteAutres informationsTaille 1,7 mPoids 59 kgSport AthlétismeRecord détenu Record du monde du 60 mètres haies (5 mars 198...

American college football season 1998 Miami Hurricanes footballMicron PC Bowl championMicron PC Bowl, W 46–23 vs. NC StateConferenceBig East ConferenceRankingCoachesNo. 21APNo. 20Record9–3 (5–2 Big East)Head coachButch Davis (4th season)Offensive coordinatorLarry Coker (4th season)Defensive coordinatorBill Miller (4th season)Home stadiumMiami Orange Bowl(Capacity: 74,476)Seasons← 19971999 → 1998 Big East Conference football standings v...

 

1962 film by Herk Harvey For other uses, see Carnival of Souls (disambiguation). Carnival of SoulsUS film poster by F. GermainDirected byHerk HarveyWritten byJohn CliffordStory by Herk Harvey (uncredited) John Clifford (uncredited)[1] Produced byHerk HarveyStarring Candace Hilligoss Sidney Berger CinematographyMaurice PratherEdited by Dan Palmquist Bill de Jarnette Music byGene MooreProductioncompanyHarcourt ProductionsDistributed byHerts-Lion International Corp.Release date September...

 

1817 novel by Walter Scott Rob Roy Title page of 1st editionAuthorWalter ScottCountryScotland and England simultaneouslyLanguageEnglish, Lowland Scots, anglicised Scottish GaelicSeriesWaverley NovelsGenreHistorical novelPublisherArchibald Constable, Edinburgh Longman, Hurst, Rees, Orme and Brown, LondonPublication date30 December 1817[1]Media typePrintPages343 (Edinburgh Edition, 2008)Preceded byThe Black Dwarf and Old Mortality Followed byThe Heart of Midlothian&#...

Japanese video game series For the first game in the series, see Dōkyūsei (video game). For the boys' love manga series by Asumiko Nakamura, see Classmates (manga). This article has multiple issues. Please help improve it or discuss these issues on the talk page. (Learn how and when to remove these template messages) This article does not cite any sources. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources:...

 

Azerbaijani publicist, translator and ethnographer (1891–1962) Jeyhun Hajibeyli (left) with his relative Agalar bey Aliverdibeyov Jeyhun Hajibeyli (Hajibeyov, Gadjibekoff) (1891–1962) was an Azerbaijani publicist, journalist and ethnographer. Jeyhun was born in Shusha, and was a brother of the Uzeyir Hajibeyov. After graduating from the Russian-Tatar Azeri school in Shusha, he continued his education in Baku. Later he went to St. Petersburg under the sponsorship of oil baron millionaire M...

 

This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Tamil Encyclopedia – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (August 2020) (Learn how and when to remove this template message) Kalaikkalanjiam (Tamil: Encyclopedia) is a universal encyclopedia in Tamil, published by the Tamil Development Academy, Chennai. ...

Ships of the Royal Navy Ships by name: A B C D–F G–H I–L M–N O–Q R–T U–Z fleet aircraft carriers escort carriers seaplane carriers amphibious assault shipping battlecruisers dreadnought battleships pre-dreadnought battleships ironclads bomb vessels breastwork monitors corvettes and sloops cruisers destroyers torpedo boats fireships frigates gun-brigs gunboats and gunvessels mine countermeasure vessels monitors patrol and attack craft royal yachts ships of the line submarines sup...

 

Ruïne, zicht vanuit de ingangsdeur op het atrium, tablinum en peristilium Het Huis van de Griekse epigrammen ligt in sectie V, in het huizenblok links onderaan Fresco van een reiger en een cobra (Nationaal Archeologisch Museum van Napels) Fresco van een sater en een maenade (Nationaal Archeologisch Museum van Napels) Het Huis van de (Griekse) epigrammen (Italiaans: Casa degli Epigrammi Greci) is een voormalige private woning en archeologische site in de stad Pompeï. Het ging om een luxueus ...

 

Anput Anput Outros nomes Input, Inpewt e Yineput Cônjuge Anúbis Filho(a)(s) Qeb-hwt Anput é a deusa dos funerais e da mumificação na mitologia egípcia. Ela é também conhecida como Input, Inpewt e Yineput[1]. Seu nome é escrito em hieróglifo como inpwt.[1] Ela é esposa do deus Anúbis e mãe de Kebechet[2] e Ammit (em alguns relatos). Anput era representada como uma mulher vestindo um padrão encimado por um Chacal. Provavelmente o exemplo mais notável é na Tríade de Menkaure.O F...

Untuk bekas partai politik pimpinan Alex Goldfarb, lihat Atid (partai politik). Yesh Atid יש עתידKetua umumYair LapidDibentukJanuary 2012 (January 2012)IdeologiLiberalisme[1]Sekulerisme[2]Liberalisme ekonomi[3][4]Zionisme Liberal[5] Solusi dua negara[6][7]Posisi politikTengah[3]Afiliasi nasionalBiru & Putih (2019–)Afiliasi internasionalTidak adaKnesset17 / 120Anggota Knesset terbanyak19 (2013)Lambang pemilu...

 

St. Francis Yacht ClubBurgeeFounded1927Location99 Yacht Road, San Francisco, California & Tinsley Island, Stockton, California  United StatesWebsitewww.stfyc.com San Francisco Yacht Club House ca. 1894 The St. Francis Yacht Club is a private sailing club located in San Francisco. History Founded in 1927, the Saint Francis Yacht Club (StFYC) was formed when some of the members of the San Francisco Yacht Club decided to move their clubhouse from Sausalito to Belvedere, California to es...

 

1999 studio album by Dragana Mirković and Zlaja BandU godiniStudio album by Dragana Mirković and Zlaja BandReleasedJanuary 28, 1999GenreAtlantic RecordsLabelPGP RTS, Grand ProductionDragana Mirković and Zlaja Band chronology Kojom gorom(1997) U godini(1999) Sama(2000) U godini is the fifteenth studio album by Serbian singer Dragana Mirković and a collaborative album with Zlaja Band. It was released in 1999.[1] Track listing U godini (In the year) Koliko je prevarenih (How ...

Agency of the Government of Ontario The Ontario Municipal Board (OMB) was an independent administrative board, operated as an adjudicative tribunal,[1] in the province of Ontario, Canada. It heard applications and appeals on municipal and planning disputes,[2] as well as other matters specified in provincial legislation. The tribunal reported to the Ministry of the Attorney General from 2012 until its shuttering.[3] The Board had been criticized for its broad powers an...

 

US-China treaty on immigration Angell Treaty of 1880Treaty Regulating Immigration from ChinaSignedNovember 17, 1880 (1880-11-17)LocationBeijing, ChinaEffectiveJuly 19, 1881 (1881-07-19)Negotiators Li Hongzao Pao Chun James Burrill Angell John F. Swift William H. Trescot Parties  Qing dynasty  United States Full text Treaty Regulating Immigration from China at Wikisource The Angell Treaty of 1880 (Chinese: 中美續修條約), formally known as the T...

 

Strategi Solo vs Squad di Free Fire: Cara Menang Mudah!