Тождество Бохнера

Тождество Бохнера — общее название семейства тождеств в римановой геометрии, связывающих лапласианы разных типов и кривизну. Тождества получаемыe интегрированием тождества Бохнера иногда называются тождествами Рейли.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle S}$ есть расслоение Дирака над римановым многообразием ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle D}$ — соответствующий оператор Дирака, и тогда

${\displaystyle D^{2}\phi =\nabla ^{*}\nabla \phi +{\mathfrak {R}}(\phi )}$

для любого сечения ${\displaystyle \phi \colon M\to S}$.

Обозначения

Далее ${\displaystyle e_{i}}$ обозначает ортонормированный репер в точке.

• ${\displaystyle \nabla }$ обозначает связность на ${\displaystyle S}$, и

  ${\displaystyle \nabla ^{*}\nabla \phi =-\sum _{i}\nabla _{e_{i}}\nabla _{e_{i}}\phi ,}$

так называемый лапласиан по связности.

• ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ — сечение ${\displaystyle \mathrm {Hom} (S,S)}$, определяемое как

  ${\displaystyle {\mathfrak {R}}(\phi )={\tfrac {1}{2}}\cdot \sum _{i,j}e_{i}.e_{j}.R_{e_{i},e_{k}}\phi ,}$

где «${\displaystyle .}$» обозначает умножение Клиффорда, и

${\displaystyle R_{X,Y}=\nabla _{X}\nabla _{Y}-\nabla _{Y}\nabla _{X}-\nabla _{[X,Y]}}$

— преобразование кривизны.

• ${\displaystyle D}$ — оператор Дирака на ${\displaystyle S}$, то есть

  ${\displaystyle D\phi =\sum _{i}e_{i}.\nabla _{e_{i}}\phi .}$

и ${\displaystyle D^{2}\phi =\Delta \phi }$ лапласиан Ходжа на дифференциальных формах

Следствия

• Из тождества Бохнера для градиента функции ${\displaystyle u}$ получаем следующую интегральную формулу для любого замкнутого многообразия

  ${\displaystyle \int \limits _{M}|\Delta u|^{2}-\int \limits _{M}|\mathrm {Hess} \,u|^{2}=\int \limits _{M}{\mbox{Ric}}(\nabla u,\nabla u)}$,

где ${\displaystyle \mathrm {Hess} \,u}$ обозначает гессиан ${\displaystyle u}$.

• Если ${\displaystyle u\colon M\rightarrow \mathbb {R} }$ — гармоническая функция, то

  ${\displaystyle \Delta ({\tfrac {1}{2}}\cdot |\nabla u|^{2})=|\nabla ^{2}u|^{2}+{\mbox{Ric}}(\nabla u,\nabla u)}$,

где ${\displaystyle \nabla u}$ обозначает градиент ${\displaystyle u}$. В частности:

• Компактные многообразия с положительной кривизной Риччи не допускают ненулевых гармонических функций.
• Если ${\displaystyle u}$ — гармоническая функция на многообразии с положительной кривизной Риччи, то функция ${\displaystyle |\nabla u|}$ субгармоническая.

• Из формулы Бохнера следует, что на компактных многообразиях с положительным оператором кривизны отсутствуют гармонические формы любой степени, то есть оно является рационально гомологической сферой.
  • Другим методом, а именно потоком Риччи, удалось доказать что любое такое многообразие диффеоморфно фактору сферы по конечной группе.^[1]

Примечания

1. B. Wilking, C. Böhm. Manifolds with positive curvature operators are space forms (англ.) // Ann. of Math. (2). — 2008. — Vol. 167, no. 3. — P. 1079–1097.

Литература

• H. Blaine Lawson, Marie-Louise Michelsohn. Spin geometry. — 1989.