Тест Чоу

Тест Чоу (Чжоу, англ. Chow test) — применяемая в эконометрике процедура проверки стабильности параметров регрессионной модели, наличия структурных сдвигов в выборке. Фактически тест проверяет неоднородность выборки в контексте регрессионной модели.

Истинные значения параметров модели могут теоретически различаться для разных выборок, так как выборки могут быть неоднородны. В частности, при анализе временных рядов может иметь место так называемый структурный сдвиг, когда со временем изменились фундаментальные характеристики изучаемой системы. Это означает, что модель до этого сдвига и модель после сдвига вообще говоря разные. Например, экономика в 1998—1999 году и в 2008—2009 годах претерпевала структурные изменения в связи с кризисными явлениями, поэтому параметры макроэкономических моделей могут быть разными, до и после этих моментов.

Тест Чоу на структурное изменение

Пусть дана выборка ${\displaystyle S}$ объёмом ${\displaystyle n}$, которая разбита на две подвыборки ${\displaystyle S_{1},~S_{2}}$, с объёмами ${\displaystyle n_{1},~n_{2}}$ соответственно: ${\displaystyle n=n_{1}+n_{2}}$. Для временных рядов это означает обычно, что определён момент времени, подозреваемый на «структурный сдвиг», соответственно временные ряды разбиваются на ряды до этого момента и после.

Пусть рассматривается регрессионная модель ${\displaystyle y_{t}=x_{t}^{T}b+\varepsilon _{t}}$, где ${\displaystyle b}$ — параметры модели (их количество — ${\displaystyle k}$). Предполагается, что подвыборки могут быть неоднородными. Таким образом, для двух подвыборок имеются две модели:

${\displaystyle {\begin{cases}y_{t}=x_{t}^{T}b_{1}+\varepsilon _{t}~,~t\in S_{1}\\y_{t}=x_{t}^{T}b_{2}+\varepsilon _{t}~,~t\in S_{2}\end{cases}}}$

Эти две модели можно представить одной моделью, если использовать индикатор подвыборки ${\displaystyle d}$:

${\displaystyle d_{t}={\begin{cases}1~,~t\in S_{1}\\0~,~t\in S_{2}\end{cases}}}$

Используя эту переменную формулируется следующая модель:

${\displaystyle y_{t}=x_{t}^{T}(d_{t}b_{1}+(1-d_{t})b_{2})+\varepsilon _{t}=d_{t}x_{t}^{T}b_{1}+(1-d_{t})x_{t}^{T}b_{2}+\varepsilon _{t}=z_{1}^{T}b_{1}+z_{2}^{T}b_{2}+\varepsilon _{t}}$ —

«длинная модель» без ограничений для всей выборки с количеством параметров ${\displaystyle 2k}$. Если в этой модели наложить ограничение ${\displaystyle H_{0}:~b_{1}=b_{2}}$, то получается исходная модель ${\displaystyle y_{t}=x_{t}^{T}b+\varepsilon _{t}}$ с ${\displaystyle k}$ параметрами также для всей выборки. Это — «короткая модель» — модель с линейными ограничениями на параметры длинной модели.

Тогда процедуру теста можно свести к проверке этого линейного ограничения. При нормально распределённых случайных ошибках применяется стандартный F-тест для проверки ${\displaystyle k}$ линейных ограничений. Статистика этого теста строится по известному принципу:

${\displaystyle F={\frac {(RSS_{S}-RSS_{L})/k}{RSS_{L}/(n-k_{L})}}={\frac {(RSS-RSS_{1}-RSS_{2})/k}{(RSS_{1}+RSS_{2})/(n-2k)}}~\sim ~F(k,n-2k)}$

Соответственно, если значение этой статистики больше критического при данном уровне значимости, то гипотеза об ограничениях отвергается в пользу длинной модели, то есть выборки признаются неоднородными и необходимо строить две разные модели для выборок. В противном случае выборка однородна (параметры модели стабильны) и можно строить общую модель для выборки.

Кроме F-теста можно применять и другие тесты для проверки гипотезы об ограничениях, в частности LR-тест. Особенно это касается более общего случая, когда выделяются не две подвыборки, а несколько. Если количество подвыборок равно ${\displaystyle m}$, то соответствующая LR-статистика будет иметь распределение ${\displaystyle \chi ^{2}((m-1)k)}$.

Замечание

В тесте предполагается, что разными в выборках могут быть только параметры линейной модели, но не параметры распределения случайной ошибки. В частности, предполагается одинаковая дисперсия случайной ошибки в обоих подвыборках. В общем случае, однако, это может быть не так. В этом случае применяют тест Вальда со статистикой:

${\displaystyle W=({\hat {b}}_{1}-{\hat {b}}_{2})^{T}({\hat {V}}_{1}+{\hat {V}}_{2})^{-1}({\hat {b}}_{1}-{\hat {b}}_{2}){\xrightarrow {d}}\chi ^{2}(k)}$,

где ${\displaystyle {\hat {b}}_{1},{\hat {V}}_{1},{\hat {b}}_{2},{\hat {V}}_{2}}$ — оценки параметров и оценки их ковариационной матрицы в первой и второй подвыборках соответственно.

Тест Чоу на предсказание

Здесь применяется несколько иной подход. Строится модель для одной из подвыборок и на основе построенной модели прогнозируется зависимая переменная для второй подвыборки. Чем больше различия между предсказанными и фактическими значениями объясняемой переменной во второй выборке, тем больше разница между подвыборками. Соответстувующая F-статистика равна:

${\displaystyle F={\frac {(RSS-RSS_{1})/n_{2}}{RSS_{1}/(n_{1}-k)}}~\sim ~F(n_{2},n_{1}-k)}$.

В данном случае также можно использовать LR-статистику с асимптотическим распределением ${\displaystyle \chi ^{2}(n_{2})}$.

См. также

• CUSUM-тест

Литература

• Chow, Gregory C. Tests of Equality Between Sets of Coefficients in Two Linear Regressions (англ.). — 1960. — Vol. 28. — P. 591—605. — doi:10.2307/1910133.
• Doran, Howard E. Applied Regression Analysis in Econometrics (англ.). — CRC Press, 1989. — P. 146. — ISBN 0-8247-8049-3.
• Dougherty, Christopher. Introduction to Econometrics (англ.). — Oxford University Press, 2007. — P. 194. — ISBN 0-19-928096-7.
• Kmenta, Jan^[англ.]. Elements of Econometrics (неопр.). — Second. — New York: Macmillan, 1986. — С. 412—423. — ISBN 0-472-10886-7.
• Wooldridge, Jeffrey M.^[англ.]. Introduction to Econometrics: A Modern Approach (англ.). — Fourth. — Mason: South-Western, 2009. — P. 243—246. — ISBN 978-0-324-66054-8.