Теплоёмкость идеального газа

Теплоёмкость определяется суммой поступательных, вращательных и удвоенным числом колебательных степеней свободы.

Теплоёмкость идеального газа — отношение количества теплоты, сообщённой газу ${\displaystyle \delta Q}$, к изменению температуры ${\displaystyle dT}$, которое при этом произошло ${\displaystyle C={\frac {\delta Q}{dT}}}$ ^[1].

Удельная и молярная теплоёмкость

Молярная теплоёмкость — теплоёмкость 1 моля вещества ^[2]:

${\displaystyle C_{M}={\frac {C}{\nu }}={\frac {1}{\nu }}{\frac {\delta Q}{\Delta T}},}$

где ${\displaystyle \nu =m/M,}$ ${\displaystyle m}$ — масса, ${\displaystyle M}$ — молярная масса вещества.

Теплоёмкость единичной массы вещества называется удельной теплоёмкостью и, в системе СИ, измеряется в Дж/(кг·К)^[1].

Формула расчёта удельной теплоёмкости^[1][2]:

${\displaystyle c={\frac {C_{M}}{M}}={\frac {\delta Q}{mdT}},}$

где c — удельная теплоёмкость, m — масса нагреваемого (охлаждающегося) вещества.

Теплоёмкость идеального газа в изопроцессах

Адиабатический

В адиабатическом процессе теплообмена с окружающей средой не происходит, то есть ${\displaystyle dQ=0}$. Однако, объём, давление и температура меняются, то есть ${\displaystyle dT\neq 0}$^[3].

Следовательно, теплоёмкость идеального газа в адиабатическом процессе равна нулю: ${\displaystyle C={0 \over dT}=0}$.

Изотермический

В изотермическом процессе постоянна температура, то есть ${\displaystyle dT=0}$. При изменении объёма газу передаётся (или отбирается) некоторое количество тепла^[3]. Следовательно, теплоёмкость идеального газа равна плюс-минус бесконечности: ${\displaystyle C\to \pm \infty }$

Изохорный

В изохорном процессе постоянен объём, то есть ${\displaystyle \delta V=0}$ и, следовательно газ не совершает работы. Первое Начало Термодинамики для изохорного процесса имеет вид^[1]:

${\displaystyle dU=\delta Q=\nu C_{V}dT.\qquad (1)}$

А для идеального газа

${\displaystyle dU={\frac {i}{2}}\nu R\Delta T.}$

Таким образом,

${\displaystyle C_{V}={\frac {i}{2}}R,}$

где ${\displaystyle i}$ — число степеней свободы частиц газа.

Другая формула:

${\displaystyle C_{V}={\frac {R}{\gamma -1}},}$

где ${\displaystyle \gamma }$ — показатель адиабаты, ${\displaystyle R}$ — газовая постоянная газа.

Изобарный

Молярная теплоёмкость при постоянном давлении обозначается как ${\displaystyle C_{p}}$. В идеальном газе она связана с теплоёмкостью при постоянном объёме соотношением Майера ${\displaystyle C_{p}=C_{v}+R}$^[1]. Уравнение Майера вытекает из первого начала термодинамики^[4]:

${\displaystyle \delta Q=\mathrm {d} U+\delta A,\qquad (2)}$.

В рассматриваемом случае, согласно определению теплоёмкости:

${\displaystyle \delta Q=C_{p}\mathrm {d} T,}$

Учитываем, что работа газа равна ^[4]:

${\displaystyle \delta A=\mathrm {d} (pV)=nR\mathrm {d} T\qquad =p\mathrm {d} V\qquad +V\mathrm {d} p\qquad =p\mathrm {d} V\qquad ,(V\mathrm {d} p\qquad =0)(3)}$

Согласно уравнению Менделеева — Клапейрона для одного моля газа^[1]:

${\displaystyle p\mathrm {d} V=R\mathrm {d} T.\qquad (4)}$

Подставляя уравнение (4) в (3) получаем:

${\displaystyle \delta A=R\mathrm {d} T\qquad (5)}$

Так как энергия одной молекулы равна ${\displaystyle <e>={\frac {i}{2}}kT}$ (6)^{[Комм 1][5]}, то и внутренняя энергия в целом и при изобарном процессе будет определяться по соотношению (1). Следовательно, подставляя уравнения (1) и (5) в (2) получаем соотношение Майера.

Молекулярно-кинетическая теория позволяет вычислить значения молярной теплоёмкости для классического идеального газа газов через значение универсальной газовой постоянной исходя из уравнения (6) и предположения, что молекулы газа не взаимодействуют между собой^[5]:

• для общего случая ${\displaystyle C_{p}={\frac {i+2}{2}}R,}$
• для одноатомных газов ${\displaystyle C_{p}={\frac {5}{2}}R,}$ то есть около 20.8 Дж/(моль·К);
• для двухатомных газов и многоатомных газов с линейными молекулами^{[Комм 2]} ${\displaystyle C_{p}={\frac {7}{2}}R,}$ то есть около 29.1 Дж/(моль·К);
• для многоатомных газов с нелинейными молекулами^{[Комм 2]} ${\displaystyle C_{p}=4R,}$ то есть около 33.3 Дж/(моль·К).

Теплоёмкости можно также определить исходя из уравнения Майера, если известен показатель адиабаты, который можно измерить экспериментально (например, с помощью измерения скорости звука в газе или используя метод Клемана — Дезорма).

Теплоёмкость реального газа может значительно отклоняться от теплоёмкости идеального газа. Так, при температуре в 25 °С и атмосферном давлении атомарный водород имеет теплоёмкость 2,50R , а атомарный кислород — 2,63R. Также теплоёмкость реального газа зависит от температуры^[5].

См. также

• Идеальный газ
• Первое начало термодинамики
• Теплоёмкость

Комментарии

1. i — сумма числа поступательных, числа вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы
2. При жёсткой связи между атомами, то есть колебательные степени свободы исключены из рассмотрения. Примером трёхатомной линейной молекулы служит цианистый водород HCN.

Примечания

1. Савельев, 2001, с. 26—30.
2. Базаров И. П., Термодинамика, 2010, с. 41.
3. Савельев, 2001, с. 30—31.
4. Савельев, 2001, с. 18-20.
5. Савельев, 2001, с. 61-63.

Литература

• Базаров И. П. Термодинамика. — 5-е изд. — СПб.—М.— Краснодар: Лань, 2010. — 384 с. — (Учебники для вузов. Специальная литература). — ISBN 978-5-8114-1003-3.
• Белоконь Н. И. Основные принципы термодинамики. — М.: Недра, 1968. — 110 с.
• Савельев И. В. Курс общей физики:Молекулярная физика и термодинамика. — М.: Астрель, 2001. — Т. 3. — 208 с. — 7000 экз. — ISBN 5-17-004585-9.