Теоремы Силова

В теории групп теоремы Си́лова представляют собой неполный вариант обратной теоремы к теореме Лагранжа и для некоторых делителей порядка группы G гарантируют существование подгрупп такого порядка. Теоремы доказаны норвежским математиком Петером-Людвигом Силовом в 1872 г.

Определения

Пусть ${\displaystyle G}$ — конечная группа, а ${\displaystyle p}$ — простое число, которое делит порядок ${\displaystyle G}$. Подгруппы порядка ${\displaystyle p^{t}}$ называются ${\displaystyle p}$-подгруппами.

Выделим из порядка группы ${\displaystyle G}$ максимальную степень ${\displaystyle p}$, то есть ${\displaystyle |G|=p^{n}s}$, где ${\displaystyle s}$ не делится на ${\displaystyle p}$. Тогда силовской ${\displaystyle p}$-подгруппой называется подгруппа ${\displaystyle G}$, имеющая порядок ${\displaystyle p^{n}}$.

Теоремы

Пусть ${\displaystyle G}$ — конечная группа. Тогда:

1. Силовская ${\displaystyle p}$-подгруппа существует.
2. Всякая ${\displaystyle p}$-подгруппа содержится в некоторой силовской ${\displaystyle p}$-подгруппе. Все силовские ${\displaystyle p}$-подгруппы сопряжены (то есть каждая представляется в виде ${\displaystyle gPg^{-1}}$, где ${\displaystyle g}$ — элемент группы, а ${\displaystyle P}$ — силовская подгруппа из теоремы 1).
3. Количество силовских ${\displaystyle p}$-подгрупп ${\displaystyle N_{p}}$ сравнимо с единицей по модулю ${\displaystyle p}$ (${\displaystyle N_{p}\equiv 1\;{\rm {mod\,}}p}$) и делит ${\displaystyle s}$, где ${\displaystyle |G|=p^{k}s}$ и ${\displaystyle (p,s)=1}$.

Следствие

Если все делители ${\displaystyle |G|}$, кроме 1, после деления на ${\displaystyle p}$ дают остаток, отличный от единицы, то в ${\displaystyle G}$ есть единственная силовская ${\displaystyle p}$-подгруппа и она является нормальной (и даже характеристической).

Например: Докажем, что группа порядка 350 не может быть простой. ${\displaystyle 350=2\cdot 5^{2}\cdot 7}$, значит, силовская 5-подгруппа имеет порядок 25. ${\displaystyle N_{5}}$ должно делить 14 и сравнимо с 1 по модулю 5. Этим условиям удовлетворяет только единица. Значит, в ${\displaystyle G}$ одна силовская 5-подгруппа, а значит, она нормальна, и поэтому ${\displaystyle G}$ не может быть простой.

Доказательства

Пусть ${\displaystyle p^{n}}$ — примарный по ${\displaystyle p}$ делитель порядка ${\displaystyle G}$.

1. Докажем теорему индукцией по порядку ${\displaystyle G}$. При ${\displaystyle |G|=p}$ теорема верна. Пусть теперь ${\displaystyle |G|>p}$. Пусть ${\displaystyle Z(G)}$ — центр группы ${\displaystyle G}$. Возможны два случая:

а) ${\displaystyle p}$ делит ${\displaystyle |Z|}$. Тогда в центре существует циклическая группа ${\displaystyle \langle a\rangle _{p^{k}}}$ (как элемент примарного разложения центра), которая нормальна в ${\displaystyle G}$. Факторгруппа ${\displaystyle G}$ по этой циклической группе имеет меньший порядок, чем ${\displaystyle G}$, значит, по предположению индукции, в ней существует силовская ${\displaystyle p}$-подгруппа. Рассмотрим её прообраз в ${\displaystyle G}$. Он и будет нужной нам силовской ${\displaystyle p}$-подгруппой ${\displaystyle G}$.

б) ${\displaystyle p}$ не делит ${\displaystyle |Z|}$. Тогда рассмотрим разбиение ${\displaystyle G}$ на классы сопряжённости: ${\displaystyle |G|=|Z|+\sum |K_{a}|}$ (поскольку если элемент лежит в центре, то его класс сопряжённости состоит из него одного). Порядок ${\displaystyle G}$ делится на ${\displaystyle p}$, значит, должен найтись класс ${\displaystyle K_{a}}$, порядок которого не делится на ${\displaystyle p}$. Соответствующий ему централизатор ${\displaystyle Z_{G}(a)}$ имеет порядок ${\displaystyle p^{n}r}$, ${\displaystyle r<s}$. Значит, по предположению индукции, в нём найдётся силовская ${\displaystyle p}$-подгруппа — она и будет искомой.

2. Пусть ${\displaystyle H}$ — произвольная ${\displaystyle p}$-подгруппа ${\displaystyle G}$. Рассмотрим её действие на множестве левых классов смежности ${\displaystyle G/P}$ левыми сдвигами, где ${\displaystyle P}$ — силовская ${\displaystyle p}$-подгруппа. Число элементов любой нетривиальной орбиты должно делиться на ${\displaystyle p}$. Но ${\displaystyle |G/P|}$ не делится на ${\displaystyle p}$, значит, у действия есть неподвижная точка ${\displaystyle gP}$. Получаем ${\displaystyle \forall h\in H\quad hga=ga',\quad a,a'\in P}$, а значит, ${\displaystyle h=ga'a^{-1}g^{-1}\in gPg^{-1}}$, то есть ${\displaystyle H}$ лежит целиком в некоторой силовской ${\displaystyle p}$-подгруппе.

Если при этом ${\displaystyle H}$ — силовская ${\displaystyle p}$-подгруппа, то она сопряжена с ${\displaystyle P}$.

3. Количество силовских p-подгрупп есть [G:N_G(P)], значит, оно делит |G|. По теореме 2, множество всех силовских p-подгрупп есть X = {gPg^-1}. Рассмотрим действие P на X сопряжениями. Пусть при этом действии H из X — неподвижная точка. Тогда P и H принадлежат нормализатору подгруппы H и при этом сопряжены в N_G(H) как его силовские p-подгруппы. Но H нормальна в своём нормализаторе, значит, H = P и единственная неподвижная точка действия — это P. Поскольку порядки всех нетривиальных орбит кратны p, получаем ${\displaystyle N_{p}\equiv 1{\pmod {p}}}$.

Нахождение силовской подгруппы

Проблема нахождения силовской подгруппы данной группы является важной задачей вычислительной теории групп. Для групп перестановок Уильям Кантор доказал, что силовская p-подгруппа может быть найдена за время, полиномиальное от размера задачи (в данном случае это порядок группы, помноженный на количество порождающих элементов).

Литература

• А. И. Кострикин. Введение в алгебру. Ч. III. М.: Физматлит, 2001.
• Э. Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал-Пресс, 2002.