Теорема о лямбда-функции

Теорема о лямбда-функции (теорема о Λ-функции) — теорема в математике, утверждающая, что всякая функция с аргументом ${\displaystyle x}$, представленная в виде приведённого многочлена, а также не имеющая свободного члена является формулой суммы первых ${\displaystyle x}$ (${\displaystyle x\in \mathbb {N} }$) элементов последовательности, заданной полной лямбда-функцией, принимающей в качестве аргумента натуральное число, обозначающее порядковый номер элемента в последовательности.

Теорема доказывается введением понятий полной и неполной лямбда-функций.

Формулировка теоремы

У теоремы о лямбда-функции существует две формулировки. Основная формулировка теоремы исходит из его алгебраического смысла:

Всякая функция-многочлен с натуральным аргументом ${\displaystyle x}$ без свободного члена является суммой первых ${\displaystyle x}$ членов последовательности, заданной другой функцией-многочленом.

Однако существует ещё одна формулировка, исходящая из её геометрического смысла:

Если из графика, проходящего через начало координат, на оси абсцисс на натуральных позициях провести отрезки-вертикали, параллельные оси ординат, от начала оси абсцисс и до пересечения с графиком и от этих точек пересечения провести лучи, параллельные оси абсцисс, то на этих отрезках-вертикалях точками пересечения с лучами образуются отрезки, длины которых, начиная с нижнего к верхнему, можно задать функцией, аргумент которой - натуральный номер отрезка снизу вверх.

Основные положения

Положение 1. Если для приведённого многочлена ${\displaystyle f(x)}$ существует функция ${\displaystyle g(x)}$ такая, что ${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{x}g(k)}$, то такая функция называется полной лямбда-функцией.

Положение 2. Формула (1) полной лямбда-функции выводится исходя из основного уравнения теоремы:

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{x}g(k)}$.

Формулу суммы можно разложить на сумму двух элементов, "отделив" от общей формулы суммы последний элемент — ${\displaystyle g(x)}$:

${\displaystyle f(x)=g(x)+\sum _{k=1}^{x-1}g(k)}$.

Из получившейся формулы можно выразить ${\displaystyle g(x)}$:

${\displaystyle g(x)=f(x)-\sum _{k=1}^{x-1}g(k)}$.

С учётом формулы (1) получим формулу (2):

${\displaystyle g(x)=f(x)-f(x-1)}$.

Такая формула называется лямбда-функцией и обозначается ${\displaystyle f(x)=\Lambda g(x)}$.

Положение 3. При суммировании лямбда-функции ${\displaystyle g(x)}$ результат будет не всегда равен ${\displaystyle f(x)}$. В случае, если он не равен ${\displaystyle f(x)}$, такая лямбда-функция будет называться неполной. Если же при суммировании ${\displaystyle g(x)}$ всегда будет равен ${\displaystyle f(x)}$, то такая лямбда-функция будет называться полной. Функция, равная просуммированной лямбда-функции ${\displaystyle g(x)}$, называется восстановленной и обозначается ${\displaystyle Nf(x)}$.

Для полной и неполной лямбда-функции справедливо выражение, получаемое из формулы (2):

${\displaystyle Nf(x)=f(x)-f(0)}$.

Для полной лямбда-функции справедливо выражение:

${\displaystyle Nf(x)=f(x)}$,

откуда следует, что ${\displaystyle f(0)=0}$.

Доказательство

Теорема подразумевает, что для данной функции ${\displaystyle f(x)}$ существует лямбда-функция ${\displaystyle g(x)}$ при ${\displaystyle f(0)=0}$. При ${\displaystyle f(0)=0}$, т. е. при отсутствии свободного члена достигается равенство ${\displaystyle Nf(x)=f(x)}$ из положения 3. Это равенство обозначает, что сумма первых ${\displaystyle x}$ членов последовательности, заданной лямбда-функцией, при ${\displaystyle x\in \mathbb {N} }$ равно самой функции, а значит функция и равняется этой сумме.

Геометрический смысл теоремы о лямбда-функции

Жирными цифрами пронумерованы отрезки, длины которых равны значению функции, принимающей в качестве аргумента номер отрезка

Геометрический смысл теоремы о лямбда-функции заключается в том, что в любом графике функции, представленном многочленом и проходящем через начало координат, на оси абсцисс на натуральных позициях можно провести вертикальные линии до пересечения с графиком функции, а из точек пересечения провести параллельные оси абсцисс лучи, в результате чего на линиях образуются пересечения с этим лучом, и длины получившихся отрезков, образованных соседними точками пересечения при нумерации снизу с единицы, можно задать функцией, аргумент которой принимает номер отрезка.

На иллюстрации отображены соответствующие отрезки, справа они пронумерованы. Геометрический смысл заключается в том, что существует такая функция, которая принимает в качестве аргумента номер отрезка и значение которой равно длине отрезка.

Описанная функция — это лямбда-функция ${\displaystyle g(x)}$ такая, что функция графика ${\displaystyle f(x)}$ равна ${\displaystyle \Lambda g(x)}$ (т. е. ${\displaystyle \sum _{k=1}^{x}g(k)}$). Так как график проходит через начало координат, у его функции отсутствует свободный член, а значит по отношению к нему применима теорема о лямбда-функции:

${\displaystyle Nf(x)=f(x)-f(0)}$.

Данное выражение, при ${\displaystyle f(0)=0}$ принимает вид ${\displaystyle Nf(x)=f(x)}$. Так как ${\displaystyle Nf(x)=\sum _{k=1}^{x}g(k)}$, получим справедливое выражение, подтверждающее геометрический смысл теоремы:

${\displaystyle Nf(x)=f(x)=\sum _{k=1}^{x}g(k)}$.

Справедливость этой формулы подтверждает существование функции ${\displaystyle g(x)}$.

Значение

Теорема о лямбда-функции позволяет разрешать рекуррентные соотношения вида:

${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+g(x)}$.

В таком случае ${\displaystyle a_{n}=\Lambda g(x)}$. Так, для постоянного ${\displaystyle g(x)}$, равном ${\displaystyle C}$ будет действовать формула:

${\displaystyle a_{n}=Cn}$.

В качестве значения ${\displaystyle a_{1}}$ в таком случае выступит ${\displaystyle C}$.

См. также

• Уравнение последовательности с конечной производной