Теорема Пеано

Теорема Пеано (иногда теорема Коши — Пеано) — теорема о существовании решения обыкновенного дифференциального уравнения, которая утверждает, что

Пусть функция ${\displaystyle f(t,x)}$ непрерывна по совокупности переменных в некоторой области ${\displaystyle |t-t_{0}|\leqslant a,|x-x_{0}|\leqslant b}$ и ${\displaystyle \beta }$ — максимум ${\displaystyle |f(t,x)|}$ в этой области. Если ${\displaystyle h=\min(a,{\frac {b}{\beta }})}$, то на отрезке ${\displaystyle [t_{0}-h,t_{0}+h]}$ существует по крайней мере одно решение уравнения ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=f(t,x)}$, удовлетворяющее начальному условию ${\displaystyle x(t_{0})=x_{0}}$.

Доказательство

Уравнение ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=f(t,x)}$ с начальным условием ${\displaystyle x(t_{0})=x_{0}}$ эквивалентно интегральному уравнению ${\displaystyle x(t)=x_{0}+\int \limits _{t_{0}}^{t}f(\tau ,x(\tau ))d\tau }$.

Рассмотрим оператор A, определенный равенством ${\displaystyle A(x)\equiv x_{0}+\int \limits _{t_{0}}^{t}f(\tau ,x(\tau ))d\tau }$ в пространстве ${\displaystyle C[t_{0}-h,t_{0}+h]}$ на шаре ${\displaystyle S_{b}:||x-x_{0}||\leqslant b}$, который будет замкнутым выпуклым множеством в этом пространстве.

Оператор A вполне непрерывен на этом шаре. Если последовательность ${\displaystyle {\mathcal {f}}x_{n}(t){\mathcal {g}}}$, принадлежащая шару ${\displaystyle |x-x_{0}|\leqslant b}$, равномерно сходится к функции ${\displaystyle x(t)\in S_{b}}$, то в силу непрерывности функции ${\displaystyle f(t,x)}$ имеем, что ${\displaystyle f(t,x_{n}(t))\rightarrow f(t,x(t))}$ равномерно на ${\displaystyle [t_{0}-h,t_{0}+h]}$. При равномерной сходимости законен предельный переход под знаком интеграла, так что ${\displaystyle Ax_{n}\rightarrow Ax}$, то есть оператор A непрерывен на шаре ${\displaystyle S_{b}}$.

Для любого элемента ${\displaystyle x(t)\in S_{b}}$ выполняется неравенство ${\displaystyle |Ax(t)|\leqslant |x_{0}|+|\int \limits _{t_{0}}^{t}f(\tau ,x(\tau ))d\tau \leqslant |x_{0}|+\beta |h|}$, то есть множество значений оператора ${\displaystyle A}$ ограничено.

Если ${\displaystyle t_{1}}$ и ${\displaystyle t_{2}}$ — любые точки отрезка ${\displaystyle [t_{0}-h,t_{0}+h]}$, то для любой функции ${\displaystyle x(t)\in S_{b}}$ будем иметь ${\displaystyle |Ax(t_{2})-Ax(t_{1})|\leqslant |\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}f(\tau ,x(\tau ))d\tau |\leqslant \beta |t_{2}-t_{1}|}$, то есть множество значений оператора ${\displaystyle A}$ равностепенно непрерывно.

В силу теоремы Арцела отсюда заключаем, что оператор ${\displaystyle A}$ преобразует шар ${\displaystyle S_{b}:||x-x_{0}||\leqslant b}$ в компактное множество.

Это доказывает полную непрерывность оператора ${\displaystyle A}$.

Оператор ${\displaystyle A}$ преобразует шар ${\displaystyle S_{b}:||x-x_{0}||\leqslant b}$ в себя. Действительно, ${\displaystyle |Ax(t)-x_{0})|\leqslant |\int \limits _{t_{0}}^{t}f(\tau ,x(\tau ))d\tau |\leqslant \beta h\leqslant \beta {\frac {b}{\beta }}=b}$.

Таким образом, оператор ${\displaystyle A}$ удовлетворяет всем условиям теоремы Шаудера. Существует неподвижная точка этого оператора, то есть такая функция ${\displaystyle {\tilde {x}}(t)}$, что ${\displaystyle {\tilde {x}}(t)\equiv x_{0}+\int \limits _{t_{0}}^{t}f(\tau ,{\tilde {x}}(\tau ))d\tau }$.

Эта функция ${\displaystyle {\tilde {x}}(t)}$ будет решением уравнения ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=f(t,x)}$, удовлетворяющим начальному условию ${\displaystyle x(t_{0})=x_{0}}$.

См. также

• Теорема существования и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения
• Теорема Осгуда о единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения

Литература

• Краснов М.Л. Интегральные уравнения, М., Наука, 1975.