Теорема Лежандра о трёх квадратах

Не следует путать с теоремой Лежандра о тернарных квадратичных формах.

Теорема Лежандра о трёх квадратах утверждает, что натуральное число может быть представлено суммой трёх квадратов целых чисел

${\displaystyle n=x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

тогда и только тогда, когда n не представимо в виде ${\displaystyle n=4^{a}(8b+7)}$, где a и b целые.

В частности, числами, не представимыми суммой трёх квадратов и представимыми в виде ${\displaystyle n=4^{a}(8b+7)}$, являются

7, 15, 23, 28, 31, 39, 47, 55, 60, 63, 71, ... (последовательность A004215 в OEIS).

История

Пьер Ферма дал критерий представимости чисел вида ${\displaystyle 3n+1}$ суммой трёх квадратов, но не привёл доказательства. Николас де Бегелин заметил в 1774 году^[1], что всякое натуральное число, не представимое в форме ${\displaystyle 8b+7}$ и в форме ${\displaystyle 4b}$, есть сумма не более трёх квадратов, но не представил удовлетворительного доказательства.^[2] В 1796 году Гаусс доказал, что любое натуральное число есть сумма не более трёх треугольных чисел. Из этого следует, что ${\displaystyle 8n+3}$ сумма не более трёх квадратов. В 1797 или 1798 году Лежандр получил первое доказательство теоремы о трёх квадратах.^[3] В 1813 году Коши заметил^[4], что теорема Лежандра эквивалентна вышеприведенной формулировке. Ранее, в 1801 году, Гаусс получил более общий результат,^[5] следствием которого была теорема Лежандра. В частности, Гаусс сосчитал число решений для целочисленного уравнения трёх квадратов и одновременно дал обобщение ещё одного результата Лежандра,^[6] доказательство которого было неполным. Это, вероятно, послужило причиной ошибочных заявлений, что доказательство Лежандра было неполным и завершено Гауссом.^[7]

Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов и теорема о трёх квадратах дают полное решение проблемы Варинга для k = 2.

Доказательства

Доказательство того, что числа ${\displaystyle n=4^{a}(8b+7)}$ не представимы суммой трёх квадратов несложное и вытекает из того, что любой квадрат по модулю 8 конгруэнтен 0, 1 или 4.

Существует несколько доказательств того, что остальные числа представимы суммой трёх квадратами, помимо доказательства Лежандра. Доказательство Дирихле 1850 года стало классическим.^[8] В его основе лежат три леммы:

• Квадратичный закон взаимности,
• Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии,
• Класс эквивалентности тривиальной трёхчленной квадратичной формы.

Связь с теоремой о четырёх квадратах

Гаусс отметил,^[9] что теорема о трёх квадратах позволяет легко доказать теорему о четырёх квадратах. Однако доказательство теоремы о трёх квадратах намного сложнее прямого доказательства теоремы о четырёх квадратах, которая была доказана первой в 1770 году.

См. также

• Теорема Ферма — Эйлера
• Теорема Лежандра

Примечания

1. Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin (1774, publ. 1776), pp. 313–369.
2. Диксон, Леонард Юджин, History of the theory of numbers, vol. II, p. 15 (Carnegie Institute of Washington 1919; AMS Chelsea Publ., 1992, reprint).
3. A.-M. Legendre, Essai sur la théorie des nombres, Paris, An VI (1797–1798), P. and pp. 398–399.
4. A. L. Cauchy, Mém. Sci. Math. Phys. de l'Institut de France, (1) 14 (1813–1815), 177.
5. C. F. Gauss, Disquisitiones Arithmeticae, Art. 291 et 292.
6. A.-M. Legendre, Hist. et Mém. Acad. Roy. Sci. Paris, 1785, pp. 514–515.
7. Смотри , например: Elena Deza and M. Deza. Figurate numbers. World Scientific 2011, p. 314 Архивная копия от 4 августа 2018 на Wayback Machine
8. vol. I, parts I, II and III of : Ландау, Vorlesungen über Zahlentheorie, New York, Chelsea, 1927. Second edition translated into English by Jacob E. Goodman, Providence RH, Chelsea, 1958.
9. Gauss, Carl Friedrich (1965), Disquisitiones Arithmeticae, Yale University Press, p. 342, section 293, ISBN 0-300-09473-6