Теорема Колмогорова о двух рядах

Теорема Колмогорова о двух рядах в теории вероятностей задаёт достаточное условие сходимости с вероятностью единица ряда независимых случайных величин. Теорема Колмогорова о двух рядах может быть использована для доказательства усиленного закона больших чисел.

Для сходимости с вероятностью единица ряда ${\displaystyle \sum \xi _{n}}$ из независимых случайных величин достаточно, чтобы одновременно сходились два ряда: ${\displaystyle \sum M\xi _{n}}$ и ${\displaystyle \sum D\xi _{n}}$. Если к тому же ${\displaystyle \sum P(|\xi _{n}|\leqslant c)=1,n\geqslant 1}$, то это условие является и необходимым.

Доказательство

Если ${\displaystyle \sum D\xi _{n}<\infty }$, то по теореме Колмогорова - Хинчина о сходимости ${\displaystyle \sum (\xi _{n}-M\xi _{n})}$ сходится. Но по предположению ряд ${\displaystyle M\xi _{n}}$ сходится, поэтому сходится и ряд ${\displaystyle \sum \xi _{n}}$.

Для доказательства необходимости воспользуемся следующим приемом "симметризации". Наряду с последовательностью ${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2}...}$ рассмотрим не зависящую от неё последовательность случайных величин ${\displaystyle \xi _{1}^{'},\xi _{2}^{'}...}$ таких, что ${\displaystyle \xi _{n}^{'}}$ имеет то же распределение, что и ${\displaystyle \xi _{n},n\geqslant 1}$.

Тогда, если сходится ряд ${\displaystyle \sum \xi _{n}}$, то сходится и ряд ${\displaystyle \sum \xi _{n}^{'}}$, а значит, и ряд ${\displaystyle \sum (\xi _{n}-\xi _{n}^{'})}$. Но ${\displaystyle M(\xi _{n}-\xi _{n}^{'})=0}$ и ${\displaystyle P(|\xi _{n}-\xi _{n}^{'}|\leqslant 2c)=1}$. Поэтому по теореме Колмогорова - Хинчина о сходимости ${\displaystyle \sum D(\xi _{n}-\xi _{n}^{'})<\infty }$.

Далее ${\displaystyle \sum D\xi _{n}={\frac {1}{2}}\sum D(\xi _{n}-\xi _{n}^{'})<\infty }$. Поэтому по теореме Колмогорова - Хинчина о сходимости с вероятностью единица сходится ряд ${\displaystyle \sum (\xi _{n}-M\xi _{n})}$, а значит, сходится и ряд ${\displaystyle \sum M\xi _{n}}$.

Итак, из сходимости ряда ${\displaystyle \sum \xi _{n}}$ (в предположении ${\displaystyle P(|\xi _{n}|\leqslant c)=1,n\geqslant 1)}$ вытекает, что оба ряда ${\displaystyle \sum M\xi _{n}}$ и ${\displaystyle \sum D\xi _{n}}$ сходятся.

Литература

• Ширяев А. Н. Вероятность. — 3-е изд., перераб. и доп.. — М.: МЦНМО, 2004. (Глава 4 § 2 раздел 1)