Теорема Бертрана — Диге — Пюизё

Теорема Бертрана — Диге — Пюизё выражает гауссову кривизну либо в терминах длины геодезической окружности, либо в терминах площади геодезического диска. Теорема принадлежит Жозефу Бертрану, Виктору Пюизё и Шарлю Франсуа Диге.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle P}$ — точка на гладкой поверхности ${\displaystyle M}$. Геодезической окружностью радиуса ${\displaystyle r}$ с центром в точке ${\displaystyle P}$ называют множество всех точек поверхности ${\displaystyle M}$, геодезическое расстояние которых от точки ${\displaystyle P}$ равно ${\displaystyle r}$.

Пусть ${\displaystyle C(r)}$ — длина этой геодезической окружности, а ${\displaystyle A(r)}$ — площадь диска, содержащегося внутри этой окружности. Теорема Бертрана–Диге–Пюизё утверждает, что

${\displaystyle K(P)=\lim _{r\to 0^{+}}3{\frac {2\pi r-C(r)}{\pi r^{3}}}=\lim _{r\to 0^{+}}12{\frac {\pi r^{2}-A(r)}{\pi r^{4}}}.}$

См. также

• Формула Гаусса — Бонне

Ссылки

• Berger, Marcel (2004), A Panoramic View of Riemannian Geometry, Springer-Verlag, ISBN 3-540-65317-1
• Bertrand, J; Diguet, C.F.; Puiseux, V (1848), "Démonstration d'un théorème de Gauss" (PDF), Journal de Mathématiques, 13: 80—90
• Spivak, Michael (1999), A comprehensive introduction to differential geometry, Volume II, Publish or Perish Press, ISBN 0-914098-71-3