Теорема Бейкера — Хегнера — Старка

Запрос «Число Хегнера»^[d] перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

Теорема Бейкера — Хегнера — Старка^[1] — утверждение алгебраической теории чисел о том, какие в точности квадратичные комплексные числовые поля позволяют единственное разложение в его кольце целых чисел^[англ.]*. Теорема решает специальный случай гауссовой задачи числа классов^[англ.], в которой требуется определить число мнимых квадратичных полей, которые имеют заданное фиксированное число классов.

Алгебраическое числовое поле ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ (где ${\displaystyle d}$ — целое число, не являющееся квадратом) является конечным расширением поля рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ порядка 2, называемым квадратичным расширением. Число классов поля ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ — это число классов эквивалентности идеалов кольца целых чисел поля ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$, где два идеала ${\displaystyle I}$ и ${\displaystyle J}$ эквивалентны тогда и только тогда, когда существуют главные идеалы ${\displaystyle (a)}$) и ${\displaystyle (b)}$, такие что ${\displaystyle (a)I=(b)J}$. Тогда кольцо целых чисел поля ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ является областью главных идеалов (а следовательно, областью с единственным разложением) тогда и только тогда, когда число классов поля ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ равно 1. Таким образом, теорему Бейкера — Хегнера — Старка можно сформулировать так: если ${\displaystyle d<0}$, то число классов поля ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ равно 1 тогда и только тогда, когда:

${\displaystyle d\in \{\,-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163\,\}}$.

Эти числа известны как числа Хегнера^[англ.]*.

При замене −1 на −4, а −2 на −8 (что не меняет поля), список может быть записан следующим образом^[2]:

${\displaystyle D=-3,-4,-7,-8,-11,-19,-43,-67,-163\,}$,

где ${\displaystyle D}$ интерпретируется как дискриминант (либо алгебраического поля, либо эллиптической кривой с комплексным умножением). Это более стандартный подход, так как ${\displaystyle D}$ тогда является Фундаментальный дискриминант.

История

Гипотеза была сформулирована Гауссом в параграфе 303 «Арифметических исследований». Первое доказательство дал Курт Хегнер^[англ.] в 1952 году, но оно содержало ряд технических недостатков и не было принято математиками, пока Харольд Старк^[англ.] не дал полное строгое доказательство в 1967 году, имевшее много общего с работой Хегнера^[3]. Хегнер «умер до того, как кто-либо действительно понял, что он сделал»^[4]. В других работах были даны похожие доказательства с помощью модулярных функций, но Старк концентрировался исключительно на заполнении пробелов Хегнера, окончательно достроив его в 1969 году^[5].

Алан Бейкер дал полностью отличное доказательство несколько ранее (1966) работы Старка (точнее, Бейкер свёл результат к конечному числу вычислений, хотя Старк в тезисах 1963/4 уже эти вычисления провёл) и получил Филдсовскую премию за свои методы. Старк позднее указал, что доказательство Бейкера, использующее линейные формы в 3 логарифмах, можно свести к 2 логарифмам, если бы результат был известен в 1949 году Гельфонду и Линнику^[6].

В работе 1969 года Старк^[5] также цитировал текст 1895 года Генриха Мартина Вебера и отметил, что если бы Вебер «заметил, что сводимость [некоторых уравнений] приводит к диофантову уравнению, задач о числе классов могла бы быть решена 60 лет назад». Брайан Бёрч заметил, что книга Вебера, и, по существу, всё поле модульных функций, выпало из рассмотрения на полстолетия: «К сожалению, в 1952 не осталось кого-либо, кто был достаточным экспертом в Алгебре Вебера, чтобы оценить достижение Хегнера»^[7].

Дойринг, Зигель и Чоула дали слегка другой вариант доказательства на основе модулярных функций сразу после Старка^[8]. Другие версии в этом жанре всплывали многие годы. Например, в 1985 году Монсур Кенку дал доказательство, используя квартику Клейна^[англ.] (хотя также с использованием модулярных функций)^[9]. Затем в 1999 Имин Чен дал другой вариант доказательства с использованием модулярных функций (согласно наброску Зигеля)^[10].

Работа Гросса и Цагира (1986)^[11] в комбинации с работой Гольдфельда (1976) также дают альтернативное доказательство^[4].

Вещественный случай

Неизвестно, имеется ли бесконечно много ${\displaystyle d>0}$, для которых ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ имеет число классов 1. Вычислительные результаты показывают, что таких полей существует много; ведётся список числовых полей с числом классов 1^[англ.].

Примечания

1. Элкис (Elkies 1999) называет теорему теоремой Хегнера — Старка (как имеющую общее происхождение с точками Старка — Хегнера на странице статьм Дармона (Darmon 2004)), но упоминание без имени Бейкера нетипично. Човла (Chowla 1970) малобоснованно добавил Дьюринга и Сигела в заглавие своей статьи.
2. Elkies, 1999, с. 93.
3. Stark, 2011, с. 42.
4. Goldfeld, 1985.
5. Stark, 1969a.
6. Stark, 1969b.
7. Birch, 2004.
8. Chowla, 1970.
9. Kenku, 1985.
10. Chen, 1999.
11. Gross, Zagier, 1986.

Литература

• Bryan Birch. Heegner Points: The Beginnings // MSRI Publications. — 2004. — Т. 49. — С. 1–10.
• Imin Chen. On Siegel's Modular Curve of Level 5 and the Class Number One Problem // J. Number Theory. — 1999. — Т. 74. — С. 278–297. — doi:10.1006/jnth.1998.2320.
• S. Chowla. The Heegner-Stark-Baker-Deuring-Siegel Theorem // Crelle. — 1970. — Т. 241. — С. 47–48.
• Henri Darmon. Preface to Heegner Points and Rankin L-Series // MSRI Publications. — 2004. — Т. 49. — С. ix-xiii.
• Noam D. Elkies. The Klein Quartic in Number Theory // The Eightfold Way: The Beauty of Klein's Quartic Curve / Silvio Levy. — Cambridge University Press, 1999. — Т. 35. — С. 51–101. — (MSRI Publications).
• Dorian M. Goldfeld. Gauss's class number problem for imaginary quadratic fields // Bulletin of the American Mathematical Society. — 1985. — Т. 13. — С. 23–37. — doi:10.1090/S0273-0979-1985-15352-2.
• Benedict H. Gross, Don B. Zagier. Heegner points and derivatives of L-series // Inventiones Mathematicae. — 1986. — Т. 84. — С. 225–320. — doi:10.1007/BF01388809.
• Kurt Heegner. Diophantische Analysis und Modulfunktionen // Mathematische Zeitschrift. — 1952. — Т. 56. — С. 227–253. — doi:10.1007/BF01174749.
• Kenku M. Q. A note on the integral points of a modular curve of level 7 // Mathematika. — 1985. — Т. 32. — С. 45–48. — doi:10.1112/S0025579300010846.
• The Eightfold Way: The Beauty of Klein's Quartic Curve / Silvio Levy. — Cambridge University Press, 1999. — Т. 35. — (MSRI Publications).
• Stark H. M. On the gap in the theorem of Heegner // Journal of Number Theory. — 1969a. — Т. 1. — С. 16–27. — doi:10.1016/0022-314X(69)90023-7.
• Stark H. M. A historical note on complex quadratic fields with class-number one. // Proc. Amer. Math. Soc.. — 1969b. — Т. 21. — С. 254–255. — doi:10.1090/S0002-9939-1969-0237461-X.
• Stark H. M. The Origin of the "Stark" conjectures. — 2011. — Т. appearing in Arithmetic of L-functions.