Сходимость почти всюду

Последовательность функций сходится почти всюду к предельной функции, если множество точек, для которых сходимость отсутствует, имеет нулевую меру^[1].

Определение

Пусть ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ — пространство с мерой, и ${\displaystyle f_{n},f:X\to \mathbb {R} ,\;n\in \mathbb {N} }$. Говорят, что ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ сходится почти всюду, и пишут ${\displaystyle f_{n}\to f}$ ${\displaystyle \mu }$-п.в., если^[1]

${\displaystyle \mu \left(\{x\in X\mid \lim \limits _{n\to \infty }f_{n}(x)\not =f(x)\}\right)=0}$.

Терминология теории вероятностей

Если ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )=(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ есть вероятностное пространство, и ${\displaystyle Y_{n},Y}$ — случайные величины, такие что

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\{\omega \in \Omega \mid \lim \limits _{n\to \infty }Y_{n}(\omega )=Y(\omega )\}\right)=1}$,

то говорят, что последовательность ${\displaystyle \{Y_{n}\}}$ сходится почти наверное к ${\displaystyle Y}$^[2].

Свойства сходимости п.в.

• Поточечная сходимость, очевидно, влечёт сходимость почти всюду.
• Пусть ${\displaystyle f_{n}\in L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )\;\forall n\in \mathbb {N} }$, где ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$, и ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ сходится почти всюду к ${\displaystyle f}$. Пусть также существует функция ${\displaystyle g\in L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )}$ такая, что ${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq |g(x)|}$ для всех ${\displaystyle n}$ и почти всех ${\displaystyle x\in X}$ (суммируемая мажоранта). Тогда ${\displaystyle f\in L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )}$, и ${\displaystyle f_{n}\to f}$ в ${\displaystyle L^{p}}$. Без априорного предположения о существовании суммируемой мажоранты из сходимости почти всюду (и даже всюду) не следует сходимости в ${\displaystyle L^{p}}$. Например, последовательность функций ${\displaystyle n\chi _{[0,1/n]}}$ сходится к 0 почти всюду на ${\displaystyle [0,1]}$, но не сходится в ${\displaystyle L^{1}[0,1]}$.
• Сходимость почти всюду влечёт сходимость по мере, если мера конечна. Для пространств с бесконечной мерой это неверно^[3].
• Сходимость почти всюду на множестве конечной меры равносильна усиленному условию сходимости по мере. Рассмотрим множество ${\displaystyle R_{n}(\sigma )}$ всех ${\displaystyle x}$ из ${\displaystyle X}$, для которых хотя бы один член ряда имеет номер, не меньший ${\displaystyle n}$, но его разность с ${\displaystyle f(x)}$ по модулю больше ${\displaystyle \sigma .}$ Предел при возрастающем ${\displaystyle n}$ меры множества ${\displaystyle R_{n}(\sigma )}$ равен нулю для любого положительного ${\displaystyle \sigma }$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ стремиться к ${\displaystyle f}$ почти всюду на ${\displaystyle X}$. В формальной записи:

${\displaystyle \forall \sigma >0,\lim _{n\to \infty }\mu \left\{\bigcup _{k=n}^{\infty }\{x\in X:|f_{k}(x)-f(x)|>\sigma \}\right\}=0}$ ${\displaystyle \Leftrightarrow f_{n}\xrightarrow {\quad \ } ^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{\text{п.в.}}}f}$ на ${\displaystyle X.}$

При переходе от сходимости к первому условию важно, чтобы мера ${\displaystyle X}$ было конечна. Подразумевается, что мера счётно-аддитивна и полна.

Доказательство

Пусть ${\displaystyle X_{0}\subseteq X}$ — множество точек, где последовательность функций не сходится к ${\displaystyle f(x)}$.

По определению предела в ${\displaystyle X_{0}}$ попадают те и только те точки, в которых для некоторого ${\displaystyle \sigma >0}$ из последовательности ${\displaystyle f_{n}(x)}$ можно выбрать подпоследовательность, не попадающую в ${\displaystyle \sigma }$-окрестность значения ${\displaystyle f(x)}$. При этом можно приблизить ${\displaystyle \sigma }$ некоторым положительным рациональным числом ${\displaystyle q.}$ Формализуя вышесказанное:

${\displaystyle X_{0}=\bigcup _{\sigma >0}\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{\infty }\left\{x\in X:|f_{k}(x)-f(x)|>\sigma \right\}}$ ${\displaystyle =\bigcup _{\sigma >0}\bigcap _{n=1}^{\infty }R_{n}(\sigma )}$ ${\displaystyle =\bigcup _{q\in \mathbb {Q} ^{+}}\bigcap _{n=1}^{\infty }R_{n}(q)}$, где ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{+}=\mathbb {Q} \cap (0;\infty ).}$

Отметим, что при любом ${\displaystyle \sigma >0}$ данное множество ${\displaystyle R_{n}(\sigma )}$ содержит следующее ${\displaystyle R_{n+1}(\sigma ).}$

1. Предположим, что последовательность сходится почти всюду, то есть мера ${\displaystyle X_{0}}$ равна нулю. Но для любого ${\displaystyle \sigma }$ пересечение множеств ${\displaystyle R_{n}(\sigma )}$ — подмножество ${\displaystyle X_{0}}$, так что мера этого пересечения в связи с полнотой меры также ноль. Но множества ${\displaystyle R_{n}(\sigma )}$ сужаются — непрерывность меры влечёт доказываемое равенство:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }R_{n}(\sigma )=\bigcap _{n=1}^{\infty }R_{n}(\sigma )=0.}$

2. Обратно, пусть указанная в условии мера множеств стремится к нулю. Тогда эта мера конечна (хотя бы начиная с некоторого номера), и по свойству непрерывности меры при каждом положительном рациональном ${\displaystyle q}$:

${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }R_{n}(q)=\lim _{n\to \infty }R_{n}(q)=0.}$

Значит, множество ${\displaystyle X_{0}}$ является объединением множеств меры ноль и в силу счётной-аддитивности меры само имеет меру ноль.

См. также

• Почти всюду

Примечания

1. Дьяченко, Ульянов, 1998, с. 55 §13. Сходимость почти всюду.
2. Математическая Энциклопедия, 1985, с. 313 Сходимость почти наверное.
3. Дьяченко, Ульянов, 1998, с. 57 Теорема 13.2 (Пример Рисса).

Литература

• Дьяченко М. И., Ульянов П. Л. Мера и интеграл. — М.: «Факториал», 1998.
• Математическая Энциклопедия / И.М. Виноградов. — 1985. — Т. 5 (Случайная величина — Ячейка).