Схема с разностями против потока

Схема с разностями против потока в вычислительной физике — класс методов дискретизации для решения (явными схемами) дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа (гиперболических уравнений).

Например, одномерное уравнение волны имеет вид

${\displaystyle \qquad {\frac {\partial u}{\partial t}}+a{\frac {\partial u}{\partial x}}=0}$

Оно описывает распространение волны в направлении ${\displaystyle x}$ со скоростью ${\displaystyle a}$. Такое уравнение также является математической моделью одномерной линейной адвекции. Рассматривая обыкновенную точку сетки ${\displaystyle i}$, в одномерном случае есть только два допустимых направления, левое и правое. Если ${\displaystyle a}$ положительна, то левая сторона называется направлением против потока, а правая сторона называется направлением по потоку. (Если ${\displaystyle a}$ отрицательна, то наоборот). Если при использовании конечных разностей для пространственной производной ${\displaystyle \partial u/\partial x}$ содержит больше точек на стороне против потока, то схема называется схемой с разностями против потока^[1].

Первого порядка

Простейший пример, пример первого порядка:^[2]

${\displaystyle \quad (1)\qquad {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}+a{\frac {u_{i}^{n}-u_{i-1}^{n}}{\Delta x}}=0\quad {\text{for}}\quad a>0}$

${\displaystyle \quad (2)\qquad {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}+a{\frac {u_{i+1}^{n}-u_{i}^{n}}{\Delta x}}=0\quad {\text{for}}\quad a<0}$

Компактная форма

Определяя

${\displaystyle \qquad \qquad a^{+}={\text{max}}(a,0)\,,\qquad a^{-}={\text{min}}(a,0)}$

${\displaystyle \qquad \qquad u_{x}^{-}={\frac {u_{i}^{n}-u_{i-1}^{n}}{\Delta x}}\,,\qquad u_{x}^{+}={\frac {u_{i+1}^{n}-u_{i}^{n}}{\Delta x}}}$,

два условных уравнения (1) и (2) можно записать в одном:

${\displaystyle \quad (3)\qquad u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}-\Delta t\left[a^{+}u_{x}^{-}+a^{-}u_{x}^{+}\right]}$

Такое уравнение представляет схемы с разностями против потока в общем виде. Стабильность схемы с разностями против потока определяется критерием Куранта — Фридрихса — Леви.^[3]

Источники

1. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкости (рус.). — Springer, 1992. — ISBN 9783540530589.
2. Patankar, S. V. Numerical Heat Transfer and Fluid Flow (неопр.). — Taylor & Francis, 1980. — ISBN 978-0-89116-522-4.
3. Hirsch, C. Numerical Computation of Internal and External Flows (англ.). — John Wiley & Sons, 1990. — ISBN 978-0-471-92452-4.