Сферические функции

Гармонические сферические функции

Сферические функции представляют собой угловую часть семейства ортогональных решений уравнения Лапласа, записанную в сферических координатах. Они широко используются для изучения физических явлений в пространственных областях, ограниченных сферическими поверхностями и при решении физических задач, обладающих сферической симметрией. Сферические функции имеют большое значение в теории дифференциальных уравнений в частных производных и теоретической физике, в частности в задачах расчёта электронных орбиталей в атоме, гравитационного поля геоида, магнитного поля планет и интенсивности реликтового излучения.

Определение

Вещественные сферические функции Y_lm, l=0…4 (сверху вниз), m=0…4 (слева направо). Функции отрицательного порядка Y_l-m повёрнуты вокруг оси Z на 90/m градусов относительно функций положительного порядка.

Сферические функции являются собственными функциями оператора Лапласа в сферической системе координат (обозначение ${\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )}$). Они образуют ортонормированную систему в пространстве функций на сфере ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$ в трёхмерном пространстве:

${\displaystyle \langle Y_{l}^{m};Y_{l}^{m}\rangle =\iint |Y_{l}^{m}|^{2}\sin {\theta }\,d\theta \,d\varphi =1}$

${\displaystyle \langle Y_{l}^{m};Y_{l'}^{m'}\rangle =\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\pi }Y_{l'}^{m'*}Y_{l}^{m}\sin {\theta }\,d\theta \,d\varphi =\delta _{ll'}\delta _{mm'}}$,

где ^* обозначает комплексное сопряжение, ${\displaystyle \delta _{ll'}}$ — символ Кронекера.

Сферические функции имеют вид

${\displaystyle Y_{l}^{m}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{im\varphi }\Theta _{lm}(\theta )}$,

где функции ${\displaystyle \Theta _{lm}(\theta )}$ являются решениями уравнения

${\displaystyle {\frac {1}{\sin {\theta }}}{\frac {d}{d\theta }}\left(\sin {\theta }{\frac {d\Theta _{lm}}{d\theta }}\right)-{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}{\theta }}}\Theta _{lm}+l(l+1)\Theta _{l}^{m}=0}$

и имеют вид

${\displaystyle \Theta _{l}^{m}={\sqrt {{\frac {2l+1}{2}}{\frac {(l-m)!}{(l+m)!}}}}P_{l}^{m}(\cos \theta )}$

Здесь ${\displaystyle P_{l}^{m}(\cos \theta )}$ — присоединённые многочлены Лежандра, а ${\displaystyle m!}$ — факториал.

Присоединенные многочлены Лежандра с отрицательным ${\displaystyle m}$ здесь вводятся как

${\displaystyle P_{\ell }^{-m}(x)=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P_{\ell }^{m}(x)}$

Решение уравнения Лапласа в сферических координатах есть так называемая шаровая функция, получаемая умножением сферической функции на решение радиального уравнения.

Вещественная форма

Вещественные сферические функции до шестого порядка

Для сферических функций форма зависимости от угла ${\displaystyle \varphi }$ — комплексная экспонента. Используя формулу Эйлера, можно ввести вещественные сферические функции. Иногда их удобнее использовать в связи с тем, что они могут быть наглядно показаны на иллюстрациях, в отличие от комплексных. Однако значимое удобство комплексных функций (утрачиваемое при переходе к вещественным) состоит в независимости квадрата их модуля ${\displaystyle |Y_{l}^{m}|^{2}}$ от угла ${\displaystyle \varphi }$.

${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{\ell m}&={\begin{cases}\displaystyle {i \over {\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{m}-(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{-m}\right)&{\text{ }}\ m<0\\\displaystyle Y_{\ell }^{0}&{\text{ }}\ m=0\\\displaystyle {1 \over {\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{-m}+(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{m}\right)&{\text{ }}\ m>0.\end{cases}}\\&={\begin{cases}\displaystyle {\sqrt {2}}\,(-1)^{m}\,\operatorname {Im} [{Y_{\ell }^{|m|}}]&{\text{ }}\ m<0\\\displaystyle Y_{\ell }^{0}&{\text{ }}\ m=0\\\displaystyle {\sqrt {2}}\,(-1)^{m}\,\operatorname {Re} [{Y_{\ell }^{m}}]&{\text{ }}\ m>0.\end{cases}}\end{aligned}}}$

Обратное преобразование:

${\displaystyle Y_{\ell }^{m}={\begin{cases}\displaystyle {1 \over {\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell |m|}-iY_{\ell ,-|m|}\right)&{\text{ }}\ m<0\\\displaystyle Y_{\ell 0}&{\text{ }}\ m=0\\\displaystyle {(-1)^{m} \over {\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell |m|}+iY_{\ell ,-|m|}\right)&{\text{ }}\ m>0.\end{cases}}}$

Иногда вещественные сферические функции называют зональными, тессеральными и секториальными^[1]. Функции с m > 0 зависят от угла как косинус, а с m < 0 — как синус.

${\displaystyle Y_{\ell m}={\begin{cases}\displaystyle (-1)^{m}{\sqrt {2}}{\sqrt {{2\ell +1 \over 4\pi }{(\ell -|m|)! \over (\ell +|m|)!}}}\ P_{\ell }^{|m|}(\cos \theta )\ \sin(|m|\varphi )&{\mbox{ }}m<0\\\displaystyle {\sqrt {2\ell +1 \over 4\pi }}\ P_{\ell }^{m}(\cos \theta )&{\mbox{ }}m=0\\\displaystyle (-1)^{m}{\sqrt {2}}{\sqrt {{2\ell +1 \over 4\pi }{(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}}\ P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ \cos(m\varphi )&{\mbox{ }}m>0\,.\end{cases}}}$

Повороты

Поворот вещественной сферической функции с m=0 и l=3. Коэффициенты не равны D-матрицам Вигнера, поскольку показаны вещественные функции, но могут быть получены при переразложении по комплексным функциям

Рассмотрим поворот системы координат ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$, на Углы Эйлера ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,}$ который преобрaзует единичный вектор ${\displaystyle \mathbf {r} }$ в вектор ${\displaystyle {\mathbf {r} }'}$. При этом углы ${\displaystyle \theta ',\varphi '}$ вектора ${\displaystyle {\mathbf {r} }'}$ в новой системе координат выражаются через углы в старой системе координат следующим образом

${\displaystyle \cos \theta ^{\prime }=\cos \theta \cos \beta +\sin \theta \sin \beta \cos(\varphi -\alpha )}$

${\displaystyle \operatorname {ctg} \left(\varphi ^{\prime }+\gamma \right)=\operatorname {ctg} (\varphi -\alpha )\cos \beta -{\frac {\operatorname {ctg} \theta \sin \beta }{\sin(\varphi -\alpha )}}}$

В новой системе координат сферическая функция с индексами ${\displaystyle \ell }$ и ${\displaystyle m}$ будет представима в виде линейной комбинации всех функций с тем же номером ${\displaystyle \ell }$ и различными ${\displaystyle m}$. Коэффициентами в линейной комбинации являются комплексно- сопряженные D-матрицы Вигнера^[2]

${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ,\beta ,\gamma )Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )=Y_{\ell }^{m}(\theta ',\varphi ')=\sum _{m'=-\ell }^{\ell }[D_{mm'}^{(\ell )}(\alpha ,\beta ,\gamma )]^{*}Y_{\ell }^{m'}(\theta ,\varphi ),}$

Сферические функции с номером ${\displaystyle \ell }$ образуют базис неприводимого представления размерности ${\displaystyle (2\ell +1)}$ группы вращений SO(3).

Разложение плоской волны по сферическим функциям

Комплексная экспонента может быть представлена в виде разложения по сферическим функциям

${\displaystyle e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }=4\pi \sum _{l=0}^{\infty }i^{l}j_{l}(kr)\sum _{m=-l}^{l}Y_{l}^{m*}\left({\frac {\mathbf {r} }{|r|}}\right)Y_{l}^{m}\left({\frac {\mathbf {k} }{|k|}}\right)}$

Здесь ${\displaystyle j_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x)}$ — сферическая функция Бесселя

Разложение произведений сферических функций

Разложения Клебша-Гордана для произведений двух сферических функций выглядят следующим образом ^[3]:

${\displaystyle Y_{\ell _{1}}^{m_{1}}(\Omega )Y_{\ell _{2}}^{m_{2}}(\Omega )=\sum _{L,M}{\sqrt {\frac {(2\ell _{1}+1)(2\ell _{2}+1)}{4\pi (2L+1)}}}\langle \ell _{1}\,0\,\ell _{2}\,0|L\,0\rangle \langle \ell _{1}\,m_{1}\,\ell _{2}\,m_{2}|L\,M\rangle Y_{L}^{M}(\Omega )}$

См. также

• Список сферических функций

Примечания

1. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики Архивная копия от 27 декабря 2019 на Wayback Machine
2. M. A. Morrison, G. A. Parker. A guide to rotations in quantum mechanics Архивная копия от 1 октября 2019 на Wayback Machine. — Australian Journal of Physics, Vol. 40, pp. 465, 1987
3. Варшалович Д. А., Москалёв А. Н., Херсонский В. К. Квантовая теория углового момента. Архивная копия от 11 ноября 2007 на Wayback Machine — Л.: Наука, 1975.

Литература

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5. — математические дополнения
• Пальцев Б.В. Сферические функции // Методич. матер. каф. ВМ МФТИ.

Приложения

• SHTOOLS: Fortran 95 software archive
• HEALPIX: Fortran 90 and C++ software archive
• SpherePack: Fortran 77 software archive
• SpharmonicKit: C software archive
• Frederik J Simons: Matlab software archive
• NFFT: C subroutine library (fast spherical Fourier transform for arbitrary nodes)
• Shansyn: spherical harmonics package for GMT/netcdf grd files
• SHAPE: Spherical HArmonic Parameterization Explorer

Ссылки

• Spherical harmonics applied to Acoustic Field analysis on Trinnov Audio’s research page
• Spherical Harmonics by Stephen Wolfram and Nodal Domains of Spherical Harmonics by Michael Trott, The Wolfram Demonstrations Project
• An accessible introduction to spherical harmonics (by J. B. Calvert)
• Spherical harmonics entry at Citizendium