Соответствие Карри — Ховарда

Соответствие Карри — Ховарда (изоморфизм Карри — Ховарда, англ. formulæ-as-types interpretation) — наблюдаемая структурная эквивалентность между математическими доказательствами и программами, которая может быть формализована в виде изоморфизма между логическими системами и типизированными исчислениями.

Хаскелл Карри^[1] и Уильям Ховард^{[англ.][2]} заметили, что построение конструктивного доказательства похоже на описание вычислений, а высказывания конструктивной логики по своей структуре схожи с типами вычисляемых выражений — программ для вычислительной машины. Ранние проявления этой связи — интерпретация Брауэра — Гейтинга — Колмогорова^[англ.] (1925), задающая семантику интуиционистской логики через вычисления доказательств, и теория реализуемости^[англ.] Клини (1945).

Соответствие Карри — Ховарда в современном представлении не ограничивается какой-то одной логикой или системой типов. Например, логика высказываний соответствует простому типизированному λ-исчислению, логика высказываний второго порядка^[англ.] — полиморфному λ-исчислению, исчисление предикатов — λ-исчислению с зависимыми типами.

В рамках изоморфизма Карри — Ховарда следующие структурные элементы рассматриваются как эквивалентные:

Логические системы	Языки программирования
Высказывание	Тип
Доказательство высказывания ${\displaystyle P}$	Терм (выражение) типа ${\displaystyle P}$
Утверждение ${\displaystyle P}$ доказуемо	Тип ${\displaystyle P}$ обитаем
Импликация ${\displaystyle P\Rightarrow Q}$	Функциональный тип ${\displaystyle P\rightarrow Q}$
Конъюнкция ${\displaystyle P\land Q}$	Тип произведения (пары) ${\displaystyle P\times Q}$
Дизъюнкция ${\displaystyle P\lor Q}$	Тип суммы (размеченного объединения) ${\displaystyle P+Q}$
Истинная формула	Единичный тип
Ложная формула	Пустой тип (${\displaystyle \bot }$)
Квантор всеобщности ${\displaystyle \forall }$	Тип зависимого произведения (${\displaystyle \Pi }$-тип)
Квантор существования ${\displaystyle \exists }$	Тип зависимой суммы (${\displaystyle \Sigma }$-тип)

Простейшим примером соответствия Карри — Ховарда может служить изоморфизм между простым типизированным λ-исчислением и фрагментом интуиционистской логики высказываний, включающим только импликацию. Например, тип ${\displaystyle (P\rightarrow Q\rightarrow R)\rightarrow (P\rightarrow Q)\rightarrow P\rightarrow R}$ в простом типизированном лямбда-исчислении соответствует высказыванию ${\displaystyle (P\Rightarrow (Q\Rightarrow R))\Rightarrow ((P\Rightarrow Q)\Rightarrow (P\Rightarrow R))}$ логики высказываний. Для доказательства этого высказывания необходимо сконструировать терм указанного типа (если это удаётся сделать, то про тип говорят, что он обитаем или населён), в данном случае можно предъявить нужный терм: ${\displaystyle \lambda fgx\rightarrow fx(gx)}$, и это значит, что тавтология ${\displaystyle (P\Rightarrow (Q\Rightarrow R))\Rightarrow ((P\Rightarrow Q)\Rightarrow (P\Rightarrow R))}$ доказана.

Использование изоморфизма Карри — Ховарда позволило создать целый класс функциональных языков программирования, среда выполнения которых одновременно является системой автоматического доказательства, таких как Coq, Agda и Epigram^[англ.].

Примечания

1. Curry, H. B., Feys, R. Combinatory Logic Vol. I. — Amsterdam: North-Holland, 1958.
2. Howard, W. A. The formulae-as-types notion of construction // To H.B. Curry: Essays on Combinatory Logic, Lambda Calculus and Formalism. — Boston: Academic Press, 1980. — С. 479–490.

Литература

• Pierce, Benjamin C. Types and Programming Languages. — MIT Press, 2002. — ISBN 0-262-16209-1.
  • Перевод на русский язык: Пирс Б. Типы в языках программирования. — Добросвет, 2012. — 680 с. — ISBN 978-5-7913-0082-9.