Случайное множество

Случайное множество — измеримое отображение ${\displaystyle K}$ семейства элементарных исходов произвольного вероятностного пространства ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbf {P} )}$ в некоторое пространство ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$, элементами которого являются множества.

Существуют различные уточнения понятия. Случайное множество в зависимости от структуры множества значений. Так, если ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ — топологическое пространство, то измеримость понимается в борелевском смысле. Наиболее распространёнными являются случаи:

• ${\displaystyle {\mathcal {M}}={\mathcal {F}}}$ — топологическое пространство замкнутых множеств (некоторого топологического пространства ${\displaystyle S}$, называемого базовым), тогда случайное множество есть случайное замкнутое множество;
• ${\displaystyle {\mathcal {M}}={\mathcal {O}}}$ — топологическое пространство открытых множеств, тогда С.м. есть случайное открытое множество;
• ${\displaystyle {\mathcal {M}}={\mathcal {H}}}$ — топологическое пространство пар (внутренность множества, замыкание множества); здесь приходят к так называемым случайным физически различным множествам^[1]
• ${\displaystyle {\mathcal {M}}={\mathcal {K}}}$ — топологическое пространство компактных множеств, при этом получают случайное компактное множество;
• ${\displaystyle {\mathcal {M}}={\rm {conv}}({\mathcal {K}})}$ — подпространство выпуклых элементов ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$, при этом получают случайное выпуклое множество.

Для задания распределения случайного замкнутого множества используется сопровождающий функционал, в терминах которого удобно описывать многие свойства случайного множества. Теория случайных открытых, компактных и физически различимых множеств с помощью стандартных переформулировок получается из теории случайных замкнутых множеств.

Для решения некоторых задач достаточно использовать значения сопровождающего функционала на конечных множествах — так называемый точечный закон распределения случайного множества, который в общем случае не определяет однозначно распределение случайного множества. Существует, однако, класс сепарабельных случайных множеств, для которых точечный закон полностью задаёт распределение: это случайное множество ${\displaystyle K}$ со свойством ${\displaystyle K={\overline {K\cap D}}}$, где ${\displaystyle D}$ счётно и всюду плотно в ${\displaystyle S}$.

Важными частными классами случайного множества являются случайные безгранично делимые множества, случайные гауссовские множества, случайные изотропные множества, случайные полумарковские множества, случайные стационарные множества, случайные устойчивые множества.

Существуют и другие способы определения случайного множества, не требующие задания предварительной (базовой) топологии; важнейшие из них: способ Кендалла, основанный на понятии «ловушки»^[2]; метод сведения к случайным функциям (например, опорным функциям в случае выпуклости множеств); способ, использующий метрику Колмогорова-Хемминга (меру симметрической разности множеств).

Наиболее развитыми разделами теории С.м. являются предельные теоремы для случайных множеств, а также различные определения и методы вычисления числовых характеристик и сет-характеристик распределений С.м. (Средние множества, Сет-среднее, Сет-медиана, Сет-ожидание и т. п.).

Примечания

1. Матерон Ж. (1978) Случайные множества и интеграяльная геометрия, пер. с англ., М.: Мир.
2. Kendall D.G. (1974) в кн: Stochastic geometry, N.Y.

Литература

• Choquet G. (1953-54) «Ann.Inst.Fourier», t.5, р. 131—295;
• Ляшенко Н. Н. (1999) Случайное множество. Вероятность и математическая статистика. Энциклопедия. Гл. ред. Ю. В. Прохоров. М.: БРЭ.