Систолическое неравенство

Систола тора.

Систолическое неравенство — неравенство следующего вида

${\displaystyle \operatorname {sys} M\leqslant c_{n}\cdot {\sqrt[{n}]{\operatorname {vol} M}},}$

где ${\displaystyle M}$ есть замкнутое ${\displaystyle n}$-мерное риманово многообразие в определённом классе, ${\displaystyle \operatorname {sys} M}$ — длина кратчайшей нестягиваемой замкнутой кривой на ${\displaystyle M}$ (так называемая систола ${\displaystyle M}$) и ${\displaystyle \operatorname {vol} M}$ — его объём.

Как определённый класс обычно берётся топологический тип многообразия, но иногда рассматриваются, например, класс римановых многообразий конформно эквивалентных данному.

Для многих топологических типов многообразий, например для произведения сферы и окружности ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{1}}$ систолическое неравенство не выполняется — существуют римановы метрики на ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{1}}$ с произвольно малым объёмом и произвольно длинной систолой.

Примеры

• Неравенство Левнера^[англ.] — оптимальное систолическое неравенство для двумерного тора ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$ с константой ${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2}}{\sqrt[{4}]{3}}}}$.
• Неравенство Пу — оптимальное систолическое неравенство для вещественной проективной плоскости ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}}$ с константой ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\pi }{2}}}}$.
• Оптимальная константа известна также для бутылки Кляйна; она равна ${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {\pi }}{2^{3/4}}}}$.^[1]
• Систолическое неравенство выполняется для метрик конформно эквивалентных канонической метрике на торе и проективного пространства всех размерностей. Более того равенство достигается для канонической метрики.
• Неравенство Громова для существенных многообразий^[2]

  ${\displaystyle \operatorname {sys} M\leqslant c_{n}\cdot {\sqrt[{n}]{\operatorname {vol} M}},}$

  • В частности систолическое неравенство выполняется для всех замкнутых поверхностей кроме сферы, а также торов и проективных пространстве всех размерностей.
  • Известно, что оптимальная константа ${\displaystyle c_{n}}$ не превосходит ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{n!}}={\tfrac {n}{e}}+o(n)}$.^[3]
  • Пример проективного пространства с канонической метрикой даёт нижнюю оценку на ${\displaystyle c_{n}}$, которая растёт как ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$; возможно это и есть оптимальная константа.

Примечания

1. C. Bavard. “Inégalité isosystolique pour la bouteille de Klein”. Math. Ann. 274.3 (1986), 439–441.
2. Gromov, M. (1983), "Filling Riemannian manifolds", J. Diff. Geom., 18: 1—147, MR 0697984, Zbl 0515.53037
3. Alexander Nabutovsky, Linear bounds for constants in Gromov's systolic inequality and related results. arXiv:1909.12225