Симплициальный комплекс

Не следует путать с алгебраическим понятием «цепной комплекс».

Трёхмерный геометрический комплекс.

Триангуляция полнотория.

Симплициальный компле́кс^[1], или симплициальное пространство, — топологическое пространство с заданной на нём триангуляцией, то есть, неформально говоря, склеенное из топологических симплексов по определённым правилам.

Определения

Симплициальный комплекс

Симплициальный комплекс — топологическое пространство, представленное как объединение множеств, гомеоморфных симплексу и образующих триангуляцию этого пространства.

Геометрический комплекс

Это понятие является частным случаем предыдущего, когда рассматриваются симплексы в евклидовом пространстве.

Геометрический комплекс — множество симплексов в евклидовом пространстве таких, что:

• с любым из симплексов в это множество входят все его грани;
• любые два симплекса либо вообще не имеют общей точки, либо пересекаются только по целой грани какой-то размерности, причём только по одной грани;
• у любой точки ${\displaystyle x}$ комплекса есть окрестность ${\displaystyle U}$ такая, что если ${\displaystyle U}$ пересекается с симплексом комплекса ${\displaystyle \Delta }$, то ${\displaystyle x\in \Delta }$.

Часто дополнительно требуют локальную конечность, то есть должно выполняться следующее условие:

• любая точка комплекса имеет окрестность, пересекающуюся не более чем с конечным числом симплексов.

Абстрактный комплекс

Абстрактный комплекс^[англ.] — это множество ${\displaystyle V}$ с выделенным набором его конечных подмножеств ${\displaystyle S}$ таких, что если ${\displaystyle X\in S}$ и ${\displaystyle Y\subset X,}$ то ${\displaystyle Y\in S}$.

При этом элементы множества ${\displaystyle V}$ называются вершинами комплекса, а элементы множества ${\displaystyle S}$ называются его симплексами.

Связанные определения

• n-мерным остовом комплекса называется подкомплекс, образованный всеми его симплексами размерности не более n.
• Размерность симплициального комплекса определяется как максимальная размерность его симплексов.

Пусть K есть симплициальный комплекс, и пусть S — некоторый набор симплексов в K.

• Замыкание ${\displaystyle S}$ (обозначается ${\displaystyle {\textrm {Cl}}S}$) есть наименьший подкомплекс в ${\displaystyle K}$, содержащий каждый симплекс из ${\displaystyle S}$. Замыкание ${\displaystyle {\bar {S}}}$ может быть получено путём добавления к ${\displaystyle S}$ всех граней всех симплексов из ${\displaystyle S}$.

• 
  Два симплекса и их замыкание.

• Звезда от ${\displaystyle S}$ (обозначается ${\displaystyle {\textrm {St}}S}$) — объединение звёзд всех симплексов в ${\displaystyle S}$. Для одного симплекса ${\displaystyle S}$ звезда ${\displaystyle S}$ — это набор симплексов, имеющих ${\displaystyle S}$ своей гранью. (Звезда - S, как правило, не является симплициальным комплексом).

• 
  Вершина и её звезда
• 
  Вершина и её линк

• Линк ${\displaystyle S}$ (обозначается ${\displaystyle {\textrm {Lk}}S}$) может быть определён как

  ${\displaystyle {\textrm {Lk}}S={\textrm {Cl}}({\textrm {St}}S)\backslash {\textrm {St}}({\textrm {Cl}}S).}$

Это — подкомплекс, образованный всеми симплексами, входящими в симплексы большей размерности вместе с симплексом из ${\displaystyle S,}$ но не имеющие граней из ${\displaystyle S}$.

См. также

• Псевдомногообразие

Примечания

1. Комплекс (матем.) // Коллиматор — Коржины. — М. : Советская энциклопедия, 1953. — С. 293. — (Большая советская энциклопедия : [в 51 т.] / гл. ред. Б. А. Введенский ; 1949—1958, т. 22). ;
   Русский орфографический словарь Российской академии наук / Отв. ред. В. В. Лопатин. — М., 2007.

Литература

• Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 3, стр.151. Том 4, стр.1168. (М.: Советская энциклопедия, 1985.)