Сигма-конечная мера

Си́гма-коне́чная ме́ра в функциональном анализе — мера такая, что всё пространство может быть представлено в виде счётного объединения измеримых множеств конечной меры.

Определение

Пусть ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ — пространство с мерой. Мера ${\displaystyle \mu }$ называется σ-конечной, если существует счётное семейство измеримых множеств ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i=1}^{\infty }\subset {\mathcal {F}}}$, такое, что ${\displaystyle \mu (A_{i})<\infty ,\;i\in \mathbb {N} }$ и

${\displaystyle X=\bigcup \limits _{i=1}^{\infty }A_{i}}$.

Примеры

• Мера Лебега ${\displaystyle m}$ на ${\displaystyle \mathbb {R} }$ σ-конечна, так как

${\displaystyle \mathbb {R} =\bigcup \limits _{i=1}^{\infty }[-i,i],\;m([-i,i])=2i<\infty ,\;i=1,2,\ldots }$.

• Счётная мера ${\displaystyle \mu }$ на ${\displaystyle \mathbb {R} }$, то есть такая, что ${\displaystyle \mu (\{x\})=1,\;\forall x\in \mathbb {R} }$ не является σ-конечной, ибо счётное объединение любых множеств конечной меры в этом случае будет счётно, в то время как всё пространство несчётно.

Литература

• Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.