Савович является воспитанником школы «Хемофарм» и выступал за клуб с 2004 по 2009 годы.
В сентябре 2009 года подписал 1-летний контракт с черногорской «Будучностью», набирая в среднем по 6,1 очка и 4,3 подбора в матчах Адриатической лиги.
В сентябре 2010 года Савович вернулся в «Хемофарм», подписав контракт по схеме «1+1»[1]. В январе 2012 года все игроки «Хемофарма» получили право покинуть команду в связи с тяжёлым финансовым положением сербского клуба. Сотрудничество с «Хемофармом» также прекратил главный спонсор команды. Свою карьеру Борис продолжил в «Галатасарае»[2].
В июле 2012 года Савович подписал 2-летний контракт с «Црвена звездой», но покинул белградский клуб после первого сезона[3]. В матчах Адриатической лиги Борис набирал 12,2 очка и 8,2 подбора в среднем за игру.
Сезон 2013/2014 Савович провёл в «Баварии», набирая в среднем 7,2 очка и 4,0 подбора за игру[4].
В июле 2014 года продолжил карьеру в Германии перейдя в «Ратиофарм»[5], но в феврале вернулся в «Будучност»[6].
Сезон 2015/2016 Савович начинал в «Тюрк Телеком», но в декабре перешёл в «Мега Лекс»[7]. Меньше чем через месяц Борис покинул сербский клуб и в январе 2016 года стал игроком «Рейер Венеция»[8].
В июле 2016 года Савович вновь вернулся в «Будучност», подписав 1-летний контракт[9].
Сезон 2018/2019 Савович начинал в «Зелёна-Гуре». В 7 матчах Единой лиги ВТБ он набирал в среднем 13,3 очка, 5,9 подбора, 1,3 передачи, 0,9 перехвата. В 9 встречах чемпионата Польши средняя статистика составила 14,9 очка, 5,3 подбора и 1,7 передачи.
В декабре 2018 года перешёл в «Автодор»[10], сыграв 18 игр со средними показателями в 13,8 очков, 4,1 подбора и 1,6 передачи.
В сезоне 2019/2020 Савович выступал за «Коян Орион Орионс» в составе которого провел 31 матч, набирая в среднем 15,3 очка, 5,9 подбора, 2,1 передачи и 0,2 перехвата.
В марте 2020 Савович стал игроком «Пармы»[11],но из-за досрочного завершения сезона Единой лиги ВТБ Борис не успел провести ни одного матча в составе пермской команды.
В июне 2020 года Савович подписал новый 1-летний контракт с «Пармой»[12]. В 20 матчах Единой лиги ВТБ Борис набирал 10,3 очка и 3,6 подбора.
В сентября 2021 года Савович перешёл в «Енисей»[13]. За 4 дня до начала сезона 2021/2022 у Бориса возникли проблемы со здоровьем во время тренировочного сбора в Хорватии, из-за которых он не смог присоединиться к команде и пропускал тренировки. В октябре «Енисей» расторг с Савовичем контракт[14].
