Разбиение графа

Пример разбиения параллельной граф-схемы алгоритма логического управления. В составе блоков, отмеченных разными цветами, нет параллельных вершин

Разбиение графа на подграфы (англ. Graph partition) (иногда в литературе также употребляется термин разрезание графа^[1]) — представление исходного графа ${\displaystyle G=\left\langle A,V\right\rangle }$ в виде множества подмножеств вершин ${\displaystyle \mathrm {Sep} ~A=\left\{A_{1},A_{2},...,A_{n}\right\},A_{i}\subseteq A}$ по определенным правилам. Обычно по условию задачи требуется, чтобы ${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=A}$, то есть все вершины исходного графа должны быть распределены по подмножествам, причём ${\displaystyle A_{i}\neq \varnothing }$. Обычно также дополнительно вводится требование ортогональности разбиения: ${\displaystyle \forall i\neq j~A_{i}\cap A_{j}=\varnothing }$, то есть одна и та же вершина не может входить в состав различных подмножеств. Иногда из множества возможных разбиений требуется выбрать одно, удовлетворяющее ограничениям и являющееся оптимальным (либо субоптимальным) по обозначенному критерию, либо доказать, что искомое разбиение не существует (ограничения противоречивы). Задача разбиения графа относится к классу NP-полных, верхняя оценка числа разбиений определяется числом Белла, однако при этом обычно не все возможные разбиения являются корректными (не нарушают ограничений), то есть оценка является завышенной. При значениях числа вершин графа ${\displaystyle N=\left|A\right|}$ более 15—20 получение оптимальных разбиений как правило невозможно за приемлемое время (иногда для этого используется метод ветвей и границ), поэтому на практике ограничиваются субоптимальными решениями, полученными с использованием эвристических алгоритмов.

Необходимость получения разбиения возникает при решении ряда задач:

1. Задача раскраски графа — каждое множество вершин ${\displaystyle V_{i}}$ состоит из вершин одного цвета, причём вершины одного цвета не имеют общих инцидентных рёбер. Обычно интересует отыскание минимальной раскраски, что в общем случае является задачей класса NP (критерий оптимальности — ${\displaystyle n\rightarrow \min }$).
2. Задача определения числа и состава компонент связности графа.
3. При проектировании топологии локальной сети её разбиение на широковещательные домены определяется требованиями производительности (критерий оптимальности — объем передаваемого междоменного трафика при использовании различных серверов и сетевых служб (доступ к файловым серверам, службам DHCP, WINS, DNS и т. д.), ограничения — число портов и пропускная способность коммутаторов, маршрутизаторов и каналов связи, а также стоимость).
4. В задаче трассировки межсоединений печатных плат или микросхем необходимо разбиение исходной схемы на слои (каждый из которых представляет собой планарный граф). Критерии оптимальности — минимальное число слоев и межсоединений (фактически, себестоимость производства), ограничения — габаритные размеры и требования термической и электромагнитной совместимости электронных компонентов.^[2]
5. В задаче разбиения граф-схемы алгоритма на блоки с целью реализации на многопроцессорной системе или логическом мультиконтроллере. Критерии оптимальности — минимальное число блоков, минимальные степени дублирования сигналов микроопераций и логических условий, минимальное число межмодульных передач управления, минимальный трафик межмодульных передач управления и данных; ограничения диктуются используемой элементной базой.^[3][4][5][6]
6. Представление графа в виде ярусно-параллельной формы или граф-схемы алгоритма в виде множества сечений (множества вершин в составе сечений могут быть неортогональными).
7. Разбиение графа алгоритма на непересекающиеся подграфы с последующим их размещением в процессорных элементах или элементах в составе ПЛИС при реализации конвейерной обработки данных (балансировка нагрузки).^[7][8]

Методы разбиения графа^[9]

• Покоординатное разбиение
• Рекурсивный инерционный метод деления пополам
• Деление сети с использованием кривых Пеано
• Деление с учётом связности (по сути, поиск в ширину)
• Алгоритм Кернигана — Лина^[англ.]

См. также

• Gerasim@Home

Примечания

1. Евстигнеев В. А. Применение теории графов в программировании. М.: Наука, 1985. 352 с.
2. Курейчик В. М., Глушань В. М., Щербаков Л. И. Комбинаторные аппаратные модели и алгоритмы в САПР. М.: Радио и связь, 1990. 216 с.
3. Баранов С. И., Журавина Л. Н., Песчанский В. А. Метод представления параллельных граф-схем алгоритмов совокупностями последовательных граф-схем // Автоматика и вычислительная техника. 1984. № 5. С. 74—81.
4. Зотов И. В., Титов В. С., Колосков В. А. [и др.] Организация и синтез микропрограммных мультимикроконтроллеров. Курск: изд-во «Курск», 1999. 368 с. ISBN 5-7277-0253-4
5. Ватутин Э. И., Зотов И. В., Титов В. С. [и др.] Комбинаторно-логические задачи синтеза разбиений параллельных алгоритмов логического управлени при проектировании логических мультиконтроллеров. Курск, изд-во КурскГТУ, 2010. 200 с. ISBN 978-5-7681-0523-5
6. Ватутин Э.И. Проектирование логических мультиконтроллеров. Синтез разбиений параллельных граф-схем алгоритмов. Saarbrucken: Lambert Academic Publishing, 2011 г. 292 с. ISBN 978-3-8433-1728-3
7. Каляев И. А., Левин И. И., Семерников Е. А., Шмойлов В. И. Реконфигурируемые мультиконвейерные вычислительные структуры: 2-е издание. Ростов н/Д: изд-во ЮНЦ РАН, 2009. 344 с. ISBN 978-5-902982-61-6
8. Каляев И. А., Левин И. И. Реконфигурируемые мультиконвейерные вычислительные системы для решения потоковых задач обработки информации и управления // Пленарные доклады 5-й международной конференции «Параллельные вычисления и задачи управления» (PACO’10). М.: ИПУ РАН, 2010 г. С. 23—37.
9. INTUIT.ru: Курс: Теория и практика ..: Лекция № 10: Параллельные методы на графах (недоступная ссылка)