Пространство Аренса — Форта

Пространство Аренса — Форта — пример топологического пространства. Назван в честь Р. Ф. Аренса^[англ.] и М. К. Форта^[англ.].

Построение

Рассмотрим множество ${\displaystyle X}$ упорядоченных пар неотрицательных целых чисел, ${\displaystyle (m,n).}$ Подмножество ${\displaystyle U\subseteq X}$ объявим открытым в следующих случаях

• ${\displaystyle U}$ не содержит ${\displaystyle (0,0),}$ или
• ${\displaystyle U}$ содержит ${\displaystyle (0,0)}$, а также все, кроме конечного числа точек, из всех, кроме конечного числа столбцов, где столбец это набор ${\displaystyle \{(m,n)~:~0\leq n\in \mathbb {Z} \}}$ с фиксированным значением ${\displaystyle 0\leq m\in \mathbb {Z} }$.

Полученное топологическое пространство называется пространством Аренса — Форта.

Свойства

• Пространство Аренса — Форта является хаусдорфовым, регулярным, нормальным и секвенциальным.
• При этом пространство Аренса — Форта не метризуемо, не компактно, и в нём не выполняются первая и вторая аксиомы счётности.