Простое число Вольстенхольма

В теории чисел простым числом Вольстенхольма называется всякое простое число, удовлетворяющее усиленному сравнению из теоремы Вольстенхольма. При этом исходному сравнению из теоремы Вольстенхольма удовлетворяют все простые числа, кроме 2 и 3. Простые Вольстенхольма названы в честь математика Джозефа Вольстенхольма, который первым доказал теорему в XIX веке.

Интерес к этим простым возник по причине их связи с великой теоремой Ферма.

Известны только два простых числа Вольстенхольма — это 16843 и 2124679 (последовательность A088164 в OEIS). Других простых чисел Вольстенхольма, меньших 10⁹, нет^[1].

Определения

Нерешённые проблемы математики: Имеются ли простые числа Вольстенхольма, отличные от 16843 и 2124679?

Простое число Вольстенхольма может быть определено несколькими эквивалентными путями.

Через биномиальные коэффициенты

Простое число Вольстенхольма — это простое число, удовлетворяющее сравнению

${\displaystyle {2p \choose p}\equiv 2{\pmod {p^{4}}},}$

где выражение в левой части обозначает биномиальный коэффициент^[2]. Сравните с теоремой Вольстенхольма, которая утверждает, что для любого простого p > 3 выполняется следующее сравнение:

${\displaystyle {2p \choose p}\equiv 2{\pmod {p^{3}}}.}$

Через числа Бернулли

Простое число Вольстенхольма — это простое число p, делящее (без остатка) числитель числа Бернулли B_p−3^[3][4][5]. Таким образом, простые числа Вольстенхольма представляют собой подмножество иррегулярных простых чисел.

Через иррегулярные пары

Основная статья: иррегулярное простое число

Простое число Вольстенхольма p — это простое число, такое, что (p, p-3) является иррегулярной парой^[6][7].

Через гармонические числа

Простое число Вольстенхольма p — это простое число, такое, что^[8]

${\displaystyle H_{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{3}}}\,,}$

то есть числитель гармонического числа ${\displaystyle H_{p-1}}$ делится на p³.

Поиск и текущее состояние

Поиск простых чисел Вольстенхольма начался в 1960-х годах и продолжается до сих пор. Последний результат был опубликован в 2007 году. Первое простое число Вольстенхольма 16843 было найдено в 1964 году, хотя результат и не был опубликован в явном виде^[9]. Находка 1964 года была потом независимо подтверждена в 1970-х годах. Это число оставалось единственным известным примером таких чисел почти 20 лет, пока не было объявлено об обнаружении второго простого числа Вольстенхольма 2124679 в 1993 году^[10]. В то время вплоть до 1,2⋅10⁷ не было найдено ни одного числа Вольстенхольма, кроме упомянутых двух^[11]. Позднее граница была поднята до 2⋅10⁸ Макинтошем (McIntosh) в 1995 году^[4], а Тревисан (Trevisan) и Вебер (Weber) смогли достичь 2,5⋅10^8[12]. Последний результат зафиксирован в 2007 году — до 1⋅10⁹ так и не нашли простых чисел Вольстенхольма^[13].

Ожидаемое количество

Существует гипотеза, что простых чисел Вольстенхольма бесконечно много. Предполагается также, что количество не превосходящих x простых чисел Вольстенхольма должно быть порядка ln ln x, где ln обозначает натуральный логарифм. Для любого простого числа p ≥ 5 частным Вольстенхольма называется

${\displaystyle W_{p}{=}{\frac {{2p \choose p}-2}{p^{3}}}.}$

Ясно, что p является простым числом Вольстенхольма тогда и только тогда, когда W_p ≡ 0 (mod p). Из эмпирических наблюдений можно предположить, что остаток W_p по модулю p равномерно распределён на множестве {0, 1, …, p-1}. По этим причинам вероятность получения определённого остатка (например, 0) должна быть около 1/p^[4].

См. также

• Число Вильсона
• Простое число Фибоначчи — Вифериха
• Простое число Вифериха

Примечания

1. Weisstein, Eric W. Wolstenholme prime (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
2. Cook, J. D. Binomial coefficients  (неопр.). Дата обращения: 21 декабря 2010. Архивировано 29 января 2013 года.
3. Clarke & Jones, 2004, p. 553
4. McIntosh, 1995, p. 387.
5. Zhao, 2008, p. 25
6. Johnson, 1975, p. 114.
7. Buhler, Crandall, Ernvall, Metsänkylä, 1993, p. 152.
8. Zhao, 2007, p. 18.
9. Селфридж (Selfridge) и Поллак (Pollack) опубликовали первое простое число Вольстенхольма в Selfridge & Pollack, 1964, p. 97 (см. McIntosh & Roettger, 2007, p. 2092).
10. Ribenboim, 2004, p. 23.
11. Zhao, 2007, p. 25.
12. Trevisan, Weber, 2001, p. 283–284.
13. McIntosh, Roettger, 2007, p. 2092.

Литература

• Selfridge, J. L.; Pollack, B. W. (1964), "Fermat's last theorem is true for any exponent up to 25,000", Notices of the American Mathematical Society, 11: 97
• Johnson, W. (1975), "Irregular Primes and Cyclotomic Invariants" (PDF), Mathematics of Computation, 29 (129): 113—120 Архивировано 20 декабря 2010 года.
• Buhler, J.; Crandall, R.; Ernvall, R.; Metsänkylä, T. (1993), "Irregular Primes and Cyclotomic Invariants to Four Million" (PDF), Mathematics of Computation, 61 (203): 151—153 Архивировано 12 ноября 2010 года.
• McIntosh, R. J. (1995), "On the converse of Wolstenholme's Theorem" (PDF), Acta Arithmetica, 71: 381—389 арх.
• Trevisan, V.; Weber, K. E. (2001), "Testing the Converse of Wolstenholme's Theorem" (PDF), Matemática Contemporânea, 21: 275—286 Архивировано 10 декабря 2010 года.
• Ribenboim, P. (2004), "Chapter 2. How to Recognize Whether a Natural Number is a Prime", The Little Book of Bigger Primes, New York: Springer-Verlag New York, Inc., ISBN 0-387-20169-6 {{citation}}: Внешняя ссылка в |chapter= (справка) арх.
• Clarke, F.; Jones, C. (2004), "A Congruence for Factorials" (PDF), Bulletin of the London Mathematical Society, 36 (4): 553—558, doi:10.1112/S0024609304003194 Архивировано 2 января 2011 года.
• McIntosh, R. J.; Roettger, E. L. (2007), "A search for Fibonacci-Wieferich and Wolstenholme primes" (PDF), Mathematics of Computation, 76: 2087—2094, doi:10.1090/S0025-5718-07-01955-2 арх.
• Zhao, J. (2007), "Bernoulli numbers, Wolstenholme's theorem, and p⁵ variations of Lucas' theorem" (PDF), Journal of Number Theory, 123: 18—26, doi:10.1016/j.jnt.2006.05.005 Архивировано 12 ноября 2010 года.
• Zhao, J. (2008), "Wolstenholme Type Theorem for Multiple Harmonic Sums" (PDF), International Journal of Number Theory, 4 (1): 73—106 арх.
• Krattenthaler, C.; Rivoal, T. (2009), "On the integrality of the Taylor coefficients of mirror maps, II", Communications in Number Theory and Physics, 3, arXiv:0907.2578
• Babbage, C. (1819), "Demonstration of a theorem relating to prime numbers", The Edinburgh Philosophical Journal, 1: 46—49
• Wolstenholme, J. (1862), "On Certain Properties of Prime Numbers", The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, 5: 35—39

Ссылки

• Caldwell, Chris K. Wolstenholme prime — из справочника простых чисел
• McIntosh, R. J. Wolstenholme Search Status as of March 2004 e-mail to Paul Zimmermann
• Bruck, R. Wolstenholme’s Theorem, Stirling Numbers, and Binomial Coefficients
• Conrad, K. The p-adic Growth of Harmonic Sums — интересное наблюдение, связанное с простыми числами Вольстенхольма.