При́нцип наименьшего принуждения, или при́нцип Га́усса, состоит в том, что в каждый момент времени истинное движение системы, находящейся под действием активных сил и подчиненной идеальным связям, отличается от всех кинематически возможных движений, совершающихся из той же начальной конфигурации и с теми же начальными скоростями, тем свойством, что для истинного движения мера отклонения от свободного движения, то есть принуждение, есть минимум.
Принцип наименьшего принуждения относится к числу дифференциальных вариационных принципов механики и предложен[1]К. Ф. Гауссом в 1829 г. в работе «Об одном новом общем законе механики». Принцип применим к механическим системам с идеальными связями и сформулирован Гауссом так: «движение системы материальных точек, связанных между собой произвольным образом и подверженных любым влияниям, в каждое мгновение происходит в наиболее совершенном, какое только возможно, согласии с тем движением, каким обладали бы эти точки, если бы все они стали свободными, т. е. происходит с наименьшим возможным принуждением, если в качестве меры принуждения, применённого в течение бесконечно малого мгновения, принять сумму произведений массы каждой точки на квадрат величины её отклонения от того положения, которое она заняла бы, если бы была свободной»[2].
Формулировка принципа у Гаусса не отличалась достаточной определённостью. Для аналитического оформления данного принципа большое значение имела[3] работа Г. Шеффлера (1820—1903) «О Гауссовом основном законе механики», опубликованная в 1858 г. В ней Шеффлер переопределил[4] принуждение как следующее (в современных обозначениях[5]) выражение:
,
где — число точек, входящих в систему, — масса -й точки, — равнодействующая приложенных к ней активных сил, — ускорение данной точки (в действительности Шеффлер пользовался скалярной формой записи, причём множитель перед знаком суммы у него отсутствовал). После этого математическим выражением принципа наименьшего принуждения стало наличие минимума у функции .
Пусть точка механической системы с массой в момент времени находится в положении . При свободном движении точка за очень малый промежуток пройдёт расстояние (рис.1), где — скорость точки в момент времени . Если же на точку будет действовать активная сила , точка под воздействием этой силы совершит перемещение . Разложив в ряд по времени вектор перемещения, будем иметь:
Но
Поэтому это перемещение с точностью до малых третьего порядка будет равно:
Если же на точку наложить связи, то её перемещение по действием силы и при наличии связей будет с точностью до малых третьего порядка равно:
,
где — ускорение точки в её действительном движении.
Тогда отклонение точки от свободного движения будет представлено вектором . Очевидно, что
с точностью до малых третьего порядка.
За меру отклонения точки от свободного движения Гаусс принял величину, пропорциональную квадрату отклонения , которую и назвал принуждением. Принуждение для точки с массой имеет следующее выражение:
Просуммировав принуждения для всех точек системы, получим:
Из приведённого в начале статьи определения следует, что для ускорений в действительном движении
причем вариация берётся только по ускорениям, а координаты и скорости полагаются неизменными. Вариацию такого рода называют гауссовой вариацией.
Значение принципа Гаусса
Одним из первых высоко оценил значение принципа наименьшего принуждения Гаусса выдающийся русский математик и механик М. В. Остроградский, который придавал особенно большое значение подходу Гаусса к пониманию связей. В своём мемуаре 1836 г. «О мгновенных перемещениях системы, подчинённой переменным условиям» Остроградский указывал такое следствие из принципа Гаусса: давление на связи со стороны точек системы в истинном движении системы должно быть минимальным по сравнению с другими кинематически осуществимыми движениями[6]. В 1878 г. И. И. Рахманинов придал[7] принципу Гаусса энергетическую трактовку, переформулировав его как принцип наименьшей потерянной работы[8].
Французский математик Ж. Бертран охарактеризовал принцип Гаусса как «красивую теорему, содержащую одновременно общие законы равновесия и движения и являющуюся, по-видимому, наиболее общим и изящным выражением, какое только им было придано»[9].
Принцип наименьшего принуждения обладает весьма большой общностью, так как применим к самым различным механическим системам: к консервативным и неконсервативным, к голономным и неголономным. Поэтому, в частности, он часто используется[10] в качестве исходного пункта при выводе уравнений движения неголономных систем. Вместе с тем принцип Гаусса используют и непосредственно — в задачах, связанных с компьютерным моделированием динамики систем твёрдых тел (в частности, манипуляционных роботов); при этом выполняется численная минимизация принуждения методами математического программирования[11].
Принцип Гаусса обобщён[12] на случай освобождения системы от части связей[13][14], а также на случай систем, стеснённых неидеальными связями, и на случай сплошных сред[15].
↑Гаусс К. Об одном новом общем принципе механики (Über ein neues allgemeines Grundgesetz der Mechanik (недоступная ссылка) // Journal für Reine und Angewandte Mathematik. 1829. Bd. IV. — S. 232—235.) // Вариационные принципы механики: Сб. статей / Под ред. Л. С. Полака. — М.: Физматгиз, 1959. — 932 с. — С. 170—172.
↑Верещагин А. Ф. Принцип Гаусса наименьшего принуждения в динамике исполнительных механизмов роботов // Попов Е. П., Верещагин А. Ф., Зенкевич С. Л. Манипуляционные роботы: динамика и алгоритмы. — М.: Наука, 1978. — 400 с. — С. 77—102.
Маркеев А. П. О принципе Гаусса // Сборник научно-методических статей. Теоретическая механика. Вып. 23. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 2000. — 264 с. — С. 29—45.
Моисеев Н. Д. Очерки истории развития механики. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1961. — 478 с.
Погребысский И. Б. От Лагранжа к Эйнштейну: Классическая механика XIX века. — М.: Наука, 1964. — 327 с.
Тюлина И. А. История и методология механики. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1979. — 282 с.
Цыганова Н. Я. Основные этапы развития принципа наименьшего принуждения // История и методология естественных наук. — М.: МГУ, 1979. — Вып. 9. — С. 122—134.
Strategi Solo vs Squad di Free Fire: Cara Menang Mudah!