Принцип Дирихле (математическая физика)

В математической физике при́нцип Дирихле́ относится к теории потенциала и формулируется следующим образом: если функция u(x) есть решение уравнения Пуассона:

${\displaystyle \Delta u+f=0}$

в области ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ с граничным условием ${\displaystyle u=g}$ на границе ${\displaystyle \Omega }$, то u может быть найдена как решение вариационной задачи: найти минимум

${\displaystyle E[v(x)]=\int _{\Omega }\left({\frac {1}{2}}|\nabla v|^{2}-vf\right)\,\mathrm {d} x}$

среди всех дважды дифференцируемых функций ${\displaystyle v}$ таких, что ${\displaystyle v=g}$ на границе ${\displaystyle \Omega }$.

Данное утверждение сформулировал (но не доказал) немецкий математик Дирихле. Карл Вейерштрасс показал, что в некоторых ситуациях принцип Дирихле неверен; позднее условия его применения уточнили Бернгард Риман, Анри Пуанкаре, Давид Гильберт и другие математики.

Литература

• Бердичевский В. Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. — М.: Наука, 2005, ISBN 978-5-9221-0576-7.
• Михлин С. Г. Вариационные методы решения задач математической физики. УМН, 5:6(40) (1950), 3—51.
• Петрова С. С. О принципе Дирихле // История и методология естественных наук. — М.: МГУ, 1966. — Вып. 5. — С. 200—218.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Dirichlet's Principle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.