Представление алгебры Ли

Представлением алгебры Ли (точнее, линейным представлением алгебры Ли) называется гомоморфизм из алгебры Ли ${\displaystyle L}$ в полную линейную алгебру преобразований некоторого векторного пространства ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \varphi \colon L\to {\mathfrak {gl}}(V)}$.

Под гомоморфизмом алгебр Ли подразумевается такое отображение, что ${\displaystyle \varphi ([x,y])=[\varphi (x),\varphi (y)]}$ для любых ${\displaystyle x,y\in L}$. При этом алгебра Ли ${\displaystyle L}$ и векторное пространство ${\displaystyle V}$ должны быть над одним и тем же полем ${\displaystyle K}$.

Примеры представлений алгебр Ли

Важным примером представления является присоединённое представление алгебры Ли ${\displaystyle \mathrm {ad} \colon L\to {\mathfrak {gl}}(L)}$. Это представление сопоставляет элементу ${\displaystyle x\in L}$ оператор ${\displaystyle \mathrm {ad} \;x}$, действующий на элементы из ${\displaystyle L}$ по правилу ${\displaystyle \mathrm {ad} \;x(y)=[x,y]}$.

См. также

Представление группы

Литература

• Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений — М. МЦНМО, 2003