Правила Фудзиты

Правила Фудзиты — набор из семи правил, формально описывающие геометрические построения с помощью плоского оригами, подобным построениям с помощью циркуля и линейки.

Фактически они описывают все возможные способы получения одной новой складки на листе бумаги, путём совмещения уже существующих различных элементов листа — точек и линий. Под линиями подразумеваются края листа или складки бумаги, под точками — пересечения линий. Существенным моментом является то, что сгиб формируется единственной складкой, причём в результате складывания фигура остается плоской.

Часто эти правила называют «аксиомами», хотя с формальной точки зрения аксиомами они не являются.

Правила

Складки в этих правилах существуют не всегда, правило утверждает только, что если такая складка есть, то её «можно» найти.

Правило 1

Пусть заданы две точки ${\displaystyle p_{1}}$ и ${\displaystyle p_{2}}$, тогда лист можно сложить так, что данные две точки будут лежать на складке.

Правило 2

Пусть заданы две точки ${\displaystyle p_{1}}$ и ${\displaystyle p_{2}}$, тогда лист можно сложить так, что одна точка перейдёт в другую.

Правило 3

Пусть заданы две прямые ${\displaystyle l_{1}}$ и ${\displaystyle l_{2}}$, тогда лист можно сложить так, что одна прямая перейдёт в другую.

Правило 4

Пусть заданы прямая ${\displaystyle l_{1}}$ и точка ${\displaystyle p_{1}}$, тогда лист можно сложить так, что точка попадёт на складку, а прямая перейдёт сама в себя (то есть линия складки будет ей перпендикулярна).

Правило 5

Пусть заданы прямая ${\displaystyle l_{1}}$ и две точки ${\displaystyle p_{1}}$ и ${\displaystyle p_{2}}$, тогда лист можно сложить так, что точка ${\displaystyle p_{2}}$ попадёт на складку, а ${\displaystyle p_{1}}$ — на прямую ${\displaystyle l_{1}}$.

Правило 6 (складка Белок)

Пусть заданы две прямые ${\displaystyle l_{1}}$ и ${\displaystyle l_{2}}$ и две точки ${\displaystyle p_{1}}$ и ${\displaystyle p_{2}}$, тогда лист можно сложить так, что точка ${\displaystyle p_{1}}$ попадёт на прямую ${\displaystyle l_{1}}$, а точка ${\displaystyle p_{2}}$ попадёт на прямую ${\displaystyle l_{2}}$.

Правило 7

Пусть заданы две прямые ${\displaystyle l_{1}}$ и ${\displaystyle l_{2}}$ и точка ${\displaystyle p}$, тогда лист можно сложить так, что точка ${\displaystyle p}$ попадёт на прямую ${\displaystyle l_{1}}$, а прямая ${\displaystyle l_{2}}$ перейдёт сама в себя (то есть линия складки будет ей перпендикулярна).

Замечания

Все складки в этом списке можно получить как результат последовательного применения правила номер 6. То есть для математика они ничего не добавляют, однако позволяют уменьшить количество сгибов. Система из семи правил является полной в том смысле, что они описывают все возможные способы получения одной новой складки на листе бумаги, путём совмещения уже существующих различных элементов листа. Это последнее утверждение было доказано Лэнгом^[1].

Возможные и невозможные построения

Возможные

Все построения являются ничем иным, как решениями какого-либо уравнения, причём коэффициенты этого уравнения связаны с длинами заданных отрезков. Поэтому удобно говорить о построении числа — графического решения уравнения определенного типа. В рамках вышеописанных требований, возможны следующие построения:

• Построение решений линейных уравнений.
• Построение решений квадратных уравнений.
• Построение решений кубических уравнений (правило 6).

Иначе говоря, возможно построить лишь числа равные арифметическим выражениям с использованием квадратного и кубического корней из исходных чисел (длин отрезков). В частности, при помощи таких построений можно осуществить удвоение куба, трисекцию угла, построение правильного семиугольника.

Невозможные

Решение задачи о квадратуре круга однако остаётся невозможным, так как π — трансцендентное число.

История

Основное правило (номер 6) было рассмотрено Маргеритой Пьяцолла Белок^[2], ей же принадлежат первые построения трисекции угла и квадратуры круга с помощью оригами-построений. Складки Белок достаточно для того, чтобы получить складки во всех остальных правилах.

Полный список правил появляется в работе Жака Жюстина^[3], который позднее также ссылался на Питера Мессера как на соавтора. Практически одновременно правила 1—6 были сформулированы Фумиаки Фудзитой^[4]. Последнее седьмое правило добавил ещё позже Косиро Хатори^[5].

Вариации и обобщения

Список возможных построений можно значительно расширить, если позволить создание нескольких складок за один раз. Хотя человек, решивший провести несколько складок за одно действие, на практике столкнется с трудностями физического порядка, тем не менее возможно вывести правила, аналогичные правилам Фудзита и для этого случая^[6].

При допущении таких дополнительных правил, возможно доказать следующую теорему:

Любое алгебраическое уравнение степени ${\displaystyle n}$ может быть решено одновременными ${\displaystyle (n-2)}$-кратными складками .

Представляет интерес, возможно ли решить то же уравнение складыванием, вовлекающим меньшее количество одновременных складок. Это, несомненно, верно для ${\displaystyle n=4}$ и неизвестно для ${\displaystyle n=5}$^[6].

См. также

• Математика оригами
• Метод Лиля
• Построение с помощью циркуля и линейки

Примечания

1. Lang R. Origami and Geometric Constructions Архивная копия от 10 марта 2012 на Wayback Machine.
2. Beloch, M. P. Sul metodo del ripiegamento della carta per la risoluzione dei problemi geometrici / Periodico di Mathematiche. — Ser. 4. — Vol. 16. — 1936. — pp. 104—108.
3. Justin, J. Resolution par le pliage de l’equation du troisieme degre et applications geometriques, reprinted in Proceedings of the First International Meeting of Origami Science and Technology. — H. Huzita ed. — 1989. — pp. 251—261.
4. Huzita Humiaki Axiomatic Development of Origami Geometry / Proceedings of the First International Meeting of Origami Science and Technology. — Humiaki Huzita, ed. — 1989. — pp. 143—158.
5. Koshiro Hatori Origami Construction Архивная копия от 12 мая 2008 на Wayback Machine.
6. Alperin R. C., Lang R. J. One-, Two- and Multi-Fold Origami Axioms Архивная копия от 13 февраля 2022 на Wayback Machine.

Ссылки

• Петрунин А. Плоское оригами и построения (рус.) // Квант. — 2008. — № 1. — С. 38—40.
• Лэнг Р. Huzita Axiomas Архивная копия от 12 марта 2008 на Wayback Machine. (англ.)
• Hull T. Origami Geometric Constructions. (англ.)
• T. Hull. Solving Cubics With Creases: The Work of Beloch and Lill (англ.) // American Mathematical Monthly : journal. — 2011. — April. — P. 307—315. — doi:10.4169/amer.math.monthly.118.04.307.