Правила Фейнмана

Правила Фе́йнмана в квантовой теории поля — правила соответствия между вкладами определенного порядка теории возмущений в матричные элементы матрицы рассеяния и диаграмм Фейнмана. Регулярный вывод правил Фейнмана основан на применении теоремы Вика для хронологических произведений к хронологическим произведениям полевых операторов, через интегралы от которых выражаются вклады в матрицу рассеяния. В правилах Фейнмана центральную роль играют пропагаторы квантовых полей, равные их хронологическим спариваниям, то есть вакуумным ожиданиям от парных хронологических произведений:

${\displaystyle u_{a}(x)u_{b}(y)=\langle Tu_{a}(x)u_{b}(y)\rangle _{0}.}$

которые также равны причинным функциям Грина этих полей:

${\displaystyle u_{a}(x)u_{b}(y)=i\delta _{a,b}\Delta _{a}^{c}(x-y).}$

Наряду с пропагаторами ${\displaystyle i\Delta (x-y)}$, которым в диаграммах Фейнмана соответствуют линии, соединяющие точки х и у, и которые полностью характеризуют взаимодействующие поля, правила Фейнмана включают элементы, описывающие механизм взаимодействия и отражающие структуру лагранжиана взаимодействия рассматриваемой квантовополевой модели.

Существуют две разновидности правил Фейнмана

1. правила в координатном представлении, на основе которых можно сопоставить диаграммы вкладам в S-матрицу, выраженным через операторные полевые функции
2. более полезными оказываются правила Фейнмана в импульсном представлении, которые служат непосредственно для построения матричных элементов переходов между физ. состояниями, характеризуемыми наряду с прочими квантовыми числами значениями 4-импульсов частиц.

В дальнейшем термином «правила Фейнмана» будем называть именно правила Фейнмана в импульсном представлении.

В этом представлении вместо вышеприведенных выражений используют их фурье-образы ${\displaystyle \Delta _{a}(p)}$, которым на диаграмме Фейнмана соответствуют внутренние линии, по которым как бы движутся частицы с импульсом р. Места встречи линий — вершины — описывают взаимодействия частиц. Поэтому, согласно правилам Фейнмана, вершинам отвечают множители в матричных элементах, передающие структуру лагранжианов взаимодействия. В качестве иллюстрации в таблице приведены правила соответствия для квантовой электродинамики в диагональной (иначе фейнмановской) калибровке электромагнитного поля.

Правила Фейнмана для квантовой электродинамки

	Элементы Диаграммы		Фактор в S-матричном элементе
	название	изображение
1	Вершина		${\displaystyle (2\pi )^{4}ie\gamma ^{\mu }\delta ^{(4)}(p+k-p')}$
2	Внутренняя фотонная линия		${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{4}i}}{\frac {\varepsilon _{\mu ,\nu }}{-k^{2}}}}$
3	Внутренняя электронно-позитронная линия		${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{4}i}}{\frac {m+{\hat {p}}}{m^{2}-p^{2}}}{\hat {p}}=\gamma ^{\mu }\rho _{\mu }}$
4	Внешняя фотонная линия		${\displaystyle {\frac {(e^{\alpha }(k))_{\mu }}{(2\pi )^{3/2}{\sqrt {2k_{0}}}}}}$
5	Внешняя выходящая электронная линия		${\displaystyle (2\pi )^{-3/2}{\vec {v_{\sigma }}}(\rho )}$
6	Внешняя выходящая линия		${\displaystyle (2\pi )^{-3/2}{\vec {v_{\rho }}}(\rho )}$
7	для построения вклада n-го порядка по e в матричный элемент заданного процесса следует нарисовать все диаграммы, содержащие ровно n вершин, соединяющие их внутренние линии и заданный набор внешних линий, определяемый суммарно начальным и конечным состоянием рассматриваемого процесса. При этом следует иметь в виду, что направления, указанные стрелками на электронных линиях, отвечают движению позитрона против направления стрелок
8	каждой из этих диаграмм по правилам соответствия из табл. путём перемножения факторов из правой колонки, упорядоченных по движению вдоль электронных линий, ставится в соответствие выражение, которое затем должно быть проинтегрировано по 4-импульсам и просуммировано по всем индексам всех внутр. линий;
9	если в диаграмме имеется ${\displaystyle l}$ замкнутых электронных петель, то всё выражение должно быть умножено на (— 1)^l
10	если в диаграмме имеется топологическая симметрия k-го порядка, то есть можно переставить k вершин, не изменив топологию диаграммы, то следует добавить множитель (k!)^−1
11	если в начальном или конечном состоянии имеются тождественные частицы, то следует провести соответствующую симметризацию.

Выражение, стоящее в первой строке таблицы правил соответствия, отвечает структуре лагранжиана взаимодействия ${\displaystyle {\mathcal {L}}(x)=e\psi (x)\gamma ^{\mu }\psi (x)A_{\mu }(x)}$, за исключением множителя ${\displaystyle i}$, который учитывает тот факт, что вклад n-го порядка в S-матрицу содержит множитель ${\displaystyle i^{n}}$:

${\displaystyle S_{n}\approx {\frac {i^{n}}{n!}}\int {T\left({\mathcal {L}}(x_{1})...{\mathcal {L}}(x_{n})\right)}dx_{1}...dx_{n}.}$

Две следующие строчки содержат пропагаторы полей, а затем в правилах соответствия фигурируют вектор поляризации фотона ${\displaystyle e^{\alpha }(k)}$ и неквантованные дираковские спиноры ${\displaystyle {\vec {v}}(\rho ),v(p)}$, являющиеся решениями свободного уравнения Дирака и отвечающие электронам (и/или позитронам) в начальном и конечном состояниях.

Пример применения

Пользуясь приведёнными правилами Фейнмана, получим матричный элемент процесса е⁻+е⁻ → е⁻+е⁻ (то есть мёллеровского рассеяния электронов) в низшем, втором по e, порядке теории возмущений. Единственной диаграммой оказывается диаграмма, приведённая на рис. 6. Используя введённые на этом рисунке импульсные обозначения, положим, что импульсы электронов в начальном состоянии равны p₁ и р₂, а электроны конечного состояния обладают импульсами — q₁ , q₂ (при этом, разумеется, q₁⁰ < 0, q₂⁰ < 0). Используя правила (1), (2), (5), (6) и (8), находим:

${\displaystyle M(p_{1},p_{2},-q_{1},-q_{2})={\frac {e^{2}}{i(2\pi )^{2}}}\delta (p_{1}+p_{2}+q_{1}+q_{2}){\frac {g_{\mu ,\nu }}{(p_{1}+q_{1})^{2}}}{\vec {v_{\sigma }}}(-q_{1})\gamma ^{\mu }v_{\rho }(p_{1})}$${\displaystyle {\vec {v_{\kappa }}}(-q_{2})\gamma ^{\nu }v_{\lambda }(p_{2}).}$

Согласно правилу (11), это выражение следует ещё антисимметризовать по электронам начального и конечного состояний.

Из релятивистской квантовой теории поля метод диаграмм Фейнмана и правила Фейнмана непосредственно переносится в квантовую статистику при нулевой температуре и без труда формулируется для теории возмущений при конечной температуре.

См. также

Диаграммы Фейнмана

Литература

• Feynman R. P. Space-time approach to quantum electrodynamics // Phys. Rev., 1949, v. 76, p. 769
• Фейнман Р. Квантовая электродинамика / Пер. с англ. — М., 1964 djvu-формат книги
• Биленький С. М. Введение в диаграммную технику Фейнмана. — М., 1971
• Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Квантовые поля. — 2-е изд. — М., 1993.