Постоянная Глейшера — Кинкелина

Постоя́нная Глейшера — Кинкелина (англ. Glaisher–Kinkelin constant) в математике — это вещественное число, обозначаемое A, которое связано с K-функцией и G-функцией Барнса, а также может быть выражено через значение производной дзета-функции Римана ${\displaystyle \zeta '(-1)}$,

${\displaystyle A=\exp \left({\tfrac {1}{12}}-\zeta '(-1)\right)}$.

Эта постоянная возникает в различных суммах и интегралах — в особенности в тех, где присутствует гамма-функция или дзета-функция Римана.

Численное значение постоянной Глейшера — Кинкелина выражается бесконечной десятичной дробью^[1][2]:

A = 1,282 427 129 100 622 636 875 342 568 869 791 727 767 688 927 … (последовательность A074962 в OEIS)

Она была названа в честь английского математика Джеймса Уитбреда Ли Глейшера (James Whitbread Lee Glaisher, 1848—1928) и швейцарского математика Германа Кинкелина (Hermann Kinkelin, 1832—1913), которые рассматривали её в своих работах^[3][4].

Представления через K-функцию и G-функцию Барнса

Для целых положительных значений аргумента K-функция может быть представлена как

${\displaystyle K(n)=\prod _{k=1}^{n-1}k^{k}}$

Она связана с G-функцией Барнса, которая для целых положительных значений аргумента может быть представлена как

${\displaystyle G(n)=\prod _{k=1}^{n-2}k!={\frac {\left[\Gamma (n)\right]^{n-1}}{K(n)}}}$

где ${\displaystyle \Gamma (n)}$ — гамма-функция, ${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}$.

Постоянная Глейшера — Кинкелина A может быть определена как предел^[5]

${\displaystyle A=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {K(n+1)}{n^{n^{2}/2+n/2+1/12}e^{-n^{2}/4}}}}$

или, соответственно,

${\displaystyle A=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {(2\pi )^{n/2}n^{n^{2}/2-1/12}e^{-3n^{2}/4+1/12}}{G(n+1)}}}$.

Также известно, что^[6]

${\displaystyle G\left({\tfrac {1}{2}}\right)=2^{1/24}\pi ^{-1/4}e^{1/8}A^{-3/2}}$.

Связь с дзета-функцией Римана

Постоянная Глейшера — Кинкелина A связана с производной дзета-функции Римана при некоторых целых значениях аргумента^[5][7], в частности,

${\displaystyle \zeta ^{\prime }(-1)={\tfrac {1}{12}}-\ln A}$

${\displaystyle \zeta ^{\prime }(2)=-\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\ln k}{k^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}\left[\gamma +\ln(2\pi )-12\ln A\right]}$

где ${\displaystyle \gamma }$ — постоянная Эйлера—Маскерони.

Некоторые интегралы и суммы

Постоянная Глейшера — Кинкелина появляется в некоторых определённых интегралах и бесконечных суммах^[5],

${\displaystyle \int _{0}^{1/2}\ln \Gamma (x)\;{\rm {d}}x={\tfrac {3}{2}}\ln {A}+{\tfrac {5}{24}}\ln {2}+{\tfrac {1}{4}}\ln {\pi }}$,

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x\ln x}{e^{2\pi x}-1}}\;{\rm {d}}x={\tfrac {1}{2}}\zeta ^{\prime }(-1)={\tfrac {1}{24}}-{\tfrac {1}{2}}\ln {A}}$,

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\ln(2k+1)}{(2k+1)^{2}}}=\pi ^{2}\left({\tfrac {3}{2}}\ln {A}-{\tfrac {1}{6}}\ln {2}-{\tfrac {1}{8}}\ln {\pi }-{\tfrac {1}{8}}\gamma \right)}$.

Также эта постоянная может быть представлена в виде суммы^[8][9], которая следует из представления для дзета-функции Римана, полученного Гельмутом Хассе,

${\displaystyle \ln {A}={\tfrac {1}{8}}-{\tfrac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}{\binom {n}{k}}\left(k+1\right)^{2}\ln(k+1)}$,

где ${\displaystyle {\textstyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}}$ — биномиальный коэффициент.

Примечания

1. Fredrik Johansson et al. 20,000 digits of the Glaisher-Kinkelin constant A = exp(1/12 - zeta'(-1)) (англ.) (HTML). mpmath.googlecode.com. Дата обращения: 11 сентября 2012. Архивировано из оригинала 31 октября 2012 года.
2. A074962 — Decimal expansion of Glaisher-Kinkelin constant A (англ.) (HTML). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS), oeis.org. Дата обращения: 11 сентября 2012. Архивировано 31 октября 2012 года.
3. Hermann Kinkelin, Ueber eine mit der Gammafunction verwandte Transcendente und deren Anwendung auf die Integralrechnung Архивная копия от 16 января 2016 на Wayback Machine, Journal für die reine und angewandte Mathematik 57, 1860, S. 122–138
4. J. W. L. Glaisher, On the Product 1¹.2².3³...nⁿ, The Messenger of Mathematics 7, 1878, p. 43–47
5. Eric W. Weisstein. Glaisher–Kinkelin Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
6. J. Choi and H. M. Srivastava. Certain classes of series involving the Zeta function (англ.) // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 1999. — Vol. 231. — P. 91—117. — doi:10.1006/jmaa.1998.6216. Архивировано 2 июня 2021 года.
7. Weisstein, Eric W. Riemann Zeta Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
8. Jesus Guillera and Jonathan Sondow (2005). "Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent". arXiv:math.NT/0506319.
9. Jesus Guillera and Jonathan Sondow. Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent (англ.) // Ramanujan Journal^[англ.]. — 2008. — Vol. 16. — P. 247—270. — doi:10.1007/s11139-007-9102-0.

Ссылки

• Eric W. Weisstein. Glaisher–Kinkelin Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Eric W. Weisstein. Riemann Zeta Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.