Первая группа когомологий

Первая группа когомологий топологического пространства — абелева группа, состоящая из аддитивных целозначных функций на первой группе гомологий этого пространства. Она является простейшим вариантом групп когомологий^[англ.] — одного из центральных понятий теории гомологий и алгебраической топологии.

Определение

Первой группой когомологий^[1] топологического пространства ${\displaystyle X}$ называется группа гомоморфизмов

${\displaystyle H^{1}(X):={\rm {Hom}}(H_{1}(X),\mathbb {Z} )}$,

где ${\displaystyle H_{1}(X)}$ — его первая группа гомологий.

Свойства

Первая группа когомологий компактного пространства является конечно порождённой. Она тривиальна тогда и только тогда, когда первая группа гомологий этого пространства конечна.

Первые группы когомологий гомеоморфных или гомотопически эквивалентных пространств изоморфны.

Функториальность

Сопоставление ${\displaystyle X\to H^{1}(X)}$ продолжается до функтора из категории топологических пространств в категорию абелевых групп, причем контравариантного. А именно, каждому непрерывному отображению ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ сопоставляется гомоморфизм ${\displaystyle f^{*}\colon H^{1}(Y)\to H^{1}(X)}$, где образ ${\displaystyle f^{*}(\varphi )\colon H_{1}(X)\to \mathbb {Z} }$ гомоморфизма ${\displaystyle \varphi \colon H_{1}(Y)\to \mathbb {Z} }$ определяется правилом

${\displaystyle [a]\mapsto \varphi ([f(a)])}$,

где символ ${\displaystyle [a]}$ обозначает гомологический класс одномерного цикла ${\displaystyle a}$.

Иными словами, данный функтор является композицией ${\displaystyle X\mapsto H_{1}(X)\mapsto H^{1}(X)}$ ковариантного функтора первой группы гомологий и контравариантного hom-функтора, представленного группой ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

Если два отображения ${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$ гомотопны, то они индуцируют одинаковые гомоморфизмы первых групп когомологий: ${\displaystyle f^{*}=g^{*}}$. В связи с этим сопоставление ${\displaystyle X\to H^{1}(X)}$ продолжается до контравариантного функтора из гомотопической категории^[англ.] в категорию абелевых групп.

Связь с фундаментальной группой

Если ${\displaystyle X}$ линейно связно, его первая группа гомологий изоморфна абелианизации его фундаментальной группы. В этом случае, согласно универсальному свойству абелианизации, имеется изоморфизм групп гомоморфизмов:

${\displaystyle H^{1}(X)\cong {\rm {Hom}}(\pi _{1}(X),\mathbb {Z} )}$.

Связь с отображениями в окружность

Каждое непрерывное отображение ${\displaystyle f\colon X\to S^{1}}$ индуцирует гомоморфизм фундаментальных групп:

${\displaystyle f_{*}\colon \pi _{1}(X)\to \pi _{1}(S^{1})\cong \mathbb {Z} }$.

Следовательно, если пространство ${\displaystyle X}$ линейно связно, оно определяет элемент первой группы когомологий: ${\displaystyle f_{*}\in {\rm {Hom}}(\pi _{1}(X),\mathbb {Z} )\cong H^{1}(X)}$. Поскольку гомотопные отображения индуцируют одинаковые гомоморфизмы, данная конструкция задаёт функцию

${\displaystyle [X,S^{1}]\to H^{1}(X)}$

из множества гомотопических классов отображений ${\displaystyle X\to S^{1}}$ в первую группу когомологий пространства ${\displaystyle X}$. Она биективна, поскольку для окружности, как и для любого пространства Эйленберга-Маклейна, подобная конструкция осуществляет взаимно-однозначное соответствие^[2] между гомотопическими классами отображений ${\displaystyle X\to K(G,1)}$ и гомоморфизмами ${\displaystyle \pi _{1}(X)\to G}$.

Имеется следующее описание прообраза сложения из первой группы когомологий ${\displaystyle H^{1}(X)}$ в множестве ${\displaystyle [X,S^{1}]}$ гомотопических классов. Для ${\displaystyle f,g\colon X\to S^{1}}$ определим отображение ${\displaystyle f\ast g\colon X\to S^{1}}$ правилом

${\displaystyle x\mapsto f(x)\times g(x)}$,

где ${\displaystyle \times }$ — стандартная групповая операция на окружности. Тогда ${\displaystyle (f\ast g)_{*}=f_{*}+g_{*}}$.

Примечания

1. Viro et al., 2008, Chapter XIII. One-Dimensional Homology.
2. Хатчер, 2011, §1.B. Пространство ${\displaystyle K(G,1)}$ и граф групп.

Литература

• Хатчер А. Алгебраическая топология (рус.). — М.: МЦНМО, 2011. — 689 с. — ISBN 978-5-940-57-748-5.
• Viro O. Ya., Ivanov O. A., Netsvetaev N. Y., Kharlamov V. M.. Elementary Topology. Textbook in Problems = Элементарная топология (англ.). — American Mathematical Society, 2008. — 490 p. — ISBN 0821845063.