В данном контексте понятие граф подразумевает мультиграф.
Существует несколько способов определения параллельно-последовательных графов. Следующее определение, в основном, базируется на определении Дэвида Эппштейна[англ.][2].
Графом с одной терминальной парой (ОТП) называется граф, у которого помечены две различные вершины s и t, называемые источником и стоком соответственно.
Параллельное соединениеPc = Pc(X,Y) двух непересекающихся ОТП графов X и Y — это граф с одной терминальной парой, созданный объединением графовX и Y при помощи слияния источников X и Y с образованием источника Pc и слиянием стоков X и Y с образованием стока графа Pc.
Последовательное соединениеSc = Sc(X,Y) двух непересекающихся ОТП графов X и Y — это ОТП-граф, созданный объединением графов X и Y путём слияния стока X с источником Y. Источник графа X становится источником Sc, а сток графа Y становится стоком Sc.
Параллельно-последовательный граф с одной терминальной парой (ППОТП граф) — это граф, который может быть получен в результате последовательных и параллельных соединений множества копий однорёберных графов K2 с назначенными терминальными вершинами.
Определение 1. Граф называется последовательно-параллельным, если он ППОТП и две его вершины помечены как источник и сток.
Аналогичным образом можно определить последовательно-параллельные орграфы, которые строятся из копий ориентированных графов с одной дугой, и в этом случае дуга направлена из источника в сток.
Альтернативное определение
Следующее определение даёт тот же класс графов[3].
Определение 2. Граф является последовательно-параллельным, если он может быть преобразован в граф K2 с помощью последовательности следующих операций:
Заменяем пару параллельных рёбер одним ребром, сохраняя общие конечные вершины
Заменяем пару рёбер, инцидентных ребру степени 2 одним ребром.
Свойства
Любой параллельно-последовательный граф имеет древесную ширину и ширину ветвления, не превосходящие 2[4]. В действительности граф имеет древесную ширину не более 2 тогда и только тогда, когда он имеет ширину ветвления максимум 2, а также тогда и только тогда, когда любая двусвязная компонента является параллельно-последовательным графом[5][6]. Максимальные параллельно-последовательные графы, графы, к которым нельзя добавить дополнительные рёбра без разрушения последовательно-параллельной структуры, — это в точности 2-деревья[англ.].
Параллельно-последовательные графы могут быть распознаны за линейное время[7] и их параллельно-последовательные разложения могут быть построены также за линейное время.
Обобщённые параллельно-последовательные графы (ОПП-графы) — это обобщение параллельно-последовательных графов[9], при котором графы имеют ту же алгоритмическую эффективность для упомянутых задач. Класс ОПП-графов включает параллельно-последовательные графы и внешнепланарные графы.
ОПП-графы могут быть определены добавлением в Определение 2 третьей операции удаления висящих вершин (вершин степени 1). Таким же образом к Определению 1 можно добавить следующую операциию.
Слияние источниковS = M(X,Y) двух ОТП-графов X и Y — это ОТП-граф, созданный из непересекающихся графов X и Y путём слияния источника X с источником Y. Источник и сток графа X становится источником и стоком P соответственно.
SPQR дерево — это структура, которая может быть определена для произвольного вершинно 2-связного графа. Структура имеет S узлов, аналогичных последовательному соединению в параллельно-последовательных графах, P узлов, аналогичных параллельному соединению параллельно-последовательных графов и R узлов, которые не соответствуют операциям параллельно-последовательных графов. 2-связный граф является параллельно-последовательным тогда и только тогда, когда нет R узлов в дереве SPQR.
Н.М. Корниенко. Комбинаторные алгоритмы на классе графов // Известия Национальной академии наук Беларуси СЕРИЯ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИХ НАУК. — 1984. — Вып. 3. — С. 109-111.
R. J. Duffin. Topology of Series-Parallel Networks // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 1965. — Т. 10, вып. 2. — С. 303–313. — doi:10.1016/0022-247X(65)90125-3.
Rhiannon Hall, James Oxley, Charles Semple, Geoff Whittle. On matroids of branch-width three // Journal of Combinatorial Theory, Series B. — 2002. — Т. 86, вып. 1. — С. 148–171. — doi:10.1006/jctb.2002.2120.
K. Takamizawa, T. Nishizeki, N. Saito. Linear-time computability of combinatorial problems on series-parallel graphs // Journal of the ACM. — 1982. — Т. 29, вып. 3. — С. 623–641. — doi:10.1145/322326.322328.
.svg)
