Отображение тент

Отображение тент в теории динамических систем задаётся следующим образом: ${\displaystyle f_{\mu }=\mu \min\{x,1-x\}}$

Для значений ${\displaystyle \mu \in [0;2]}$ отображение тент переводит отрезок ${\displaystyle [0;1]}$ в себя, являясь динамической системой c дискретным временем. В частности, орбитой точки ${\displaystyle x_{0}}$ из интервала ${\displaystyle [0;1]}$ является последовательность ${\displaystyle x_{n}}$ :

График общего случая отображения тент

График случая ${\displaystyle \mu =2}$ для 1, 2 и 3 итераций отображения тент

${\displaystyle x_{n+1}=f_{\mu }(x_{n})={\begin{cases}\mu x_{n},&x_{n}<{\frac {1}{2}},\\\\\mu (1-x_{n}),&{\frac {1}{2}}\leq x_{n}.\end{cases}}}$

Несмотря на то, что отображение тент является довольно простой нелинейной динамической системой, оно демонстрирует ряд свойств, характерных и для более сложных систем: плотность периодических орбит, перемешивание, чувствительность к начальным условиям, т.е. хаотичность^[1].

Свойства

Орбиты отображения для ${\displaystyle \mu =2}$

Графики 1,2,3,4,5,6 итераций отображения тент для ${\displaystyle \mu =0.75}$

• Если ${\displaystyle \mu \in [0;1)}$, ${\displaystyle x=0}$ является притягивающей неподвижной точкой: система будет стремиться к нулю с устремлением времени в бесконечность при любом исходном значении ${\displaystyle x}$ из отрезка ${\displaystyle [0;1]}$.
• Если ${\displaystyle \mu =1}$, все ${\displaystyle x\in [0;0.5]}$ — неподвижные точки, а ${\displaystyle x\in (0.5;1]}$ — предпериодические точки единичного периода (после одной итерации переходят в неподвижные).
• Если ${\displaystyle \mu \in (1;2]}$, то отображение имеет две неподвижные точки: ${\displaystyle x=0}$ и ${\displaystyle x={\frac {\mu }{1+\mu }}}$. Причем обе из них будут неустойчивыми, то есть значения ${\displaystyle x}$, лежащие в окрестностях неподвижных точек, будут отдаляться от них с последующими итерациями. Более того, для таких значений ${\displaystyle \mu }$, в интервале ${\displaystyle x\in [\mu -{\mu ^{2}}/2;{\mu }/2]}$ содержатся и периодические, и непериодические точки.
• Если ${\displaystyle \mu \in (1;{\sqrt {2}}]}$, то система отображает множество интервалов из отрезка ${\displaystyle [\mu -{\mu ^{2}}/2;{\mu }/2]}$ в себя, и их объединение является множеством Жюлиа отображения тент, т.е. множеством точек, чьи орбиты неустойчивы.
  • увеличение показывает, что при μ ≈ 1, множество Жюлиа состоит из нескольких интервалов. На диаграммах видно 4 и 8 интервалов при достаточном увеличении.

• 
  Бифуркационная диаграмма отображения тент. Более высокая плотность соответствует более высокой вероятности, что переменная x примет данное значение для параметра ${\displaystyle \mu }$
• 
  При увеличении вблизи острия видно 4 интервала
• 
  При дальнейшем увеличении видно 8 интервалов

Графики 1,2,3,4,5,6 итераций отображения тент для ${\displaystyle \mu =1.2(\mu <{\sqrt {2}})}$

• Если ${\displaystyle \mu \in ({\sqrt {2}};2]}$, то интервалы из отрезка ${\displaystyle [\mu -{\mu ^{2}}/2;{\mu }/2]}$ сходятся и множество Жюлиа — это весь интервал ${\displaystyle [\mu -{\mu ^{2}}/2;{\mu }/2]}$ (см. бифуркационную диаграмму).

Графики 1,2,3,4,5,6 итераций отображения тент для ${\displaystyle \mu =1.8(\mu >{\sqrt {2}})}$

• Если ${\displaystyle \mu =2}$, то система переводит отрезок [0;1] в себя. В этом случае периодические точки плотны на отрезке, так что отображение демонстрирует хаотичность^[2]. Непериодическое поведение характерно только для иррациональных чисел, что может быть показано с помощью механизма, которым отображение действует на представленное в двоичной записи число: оно перемещает двоичную запятую вправо на один знак, а затем, если то, что оказалось слева от запятой — это единица, отбрасывает её и обращает все единицы в нули и наоборот (кроме последней единицы для чисел с конечной двоичной записью). Для иррационального числа, двоичная запись которого непериодична, это бесконечный процесс. Кроме того, стоит обратить внимание, что для ${\displaystyle \mu =2}$ отображение тент топологически сопряжено логистическому отображению для ${\displaystyle r=4}$ и полусопряжен ${\displaystyle \mu =2}$ отображению удвоения, что указывает на сходство динамических свойств этих отображений^[3]. Действительно, пусть ${\displaystyle x_{n}}$ — орбита отображения тент при ${\displaystyle \mu =2}$, а ${\displaystyle y_{n}}$ — орбита логистического отображения для ${\displaystyle r=4}$, тогда они связаны соотношением: ${\displaystyle x_{n}={\tfrac {2}{\pi }}\sin ^{-1}(y_{n}^{1/2}).}$.
• Если ${\displaystyle \mu \in (2;+\infty )}$, множество Жюлиа отображения все еще содержит бесконечное количество и периодических, и непериодических точек, но почти всюду точки отрезка ${\displaystyle [0;1]}$ стремятся к бесконечности. Само множество становится канторовым. В частности, множество Жюлиа отображения тент для ${\displaystyle \mu =3}$ — стандартное канторово множество.

Асимметричное отображение тент

Также объектом изучения теории динамических систем является асимметричное отображение тент ${\displaystyle f_{\alpha }:[0;1]\rightarrow [0;1],\alpha \in (1;+\infty )}$. Его можно считать расширением случая ${\displaystyle \mu =2}$ стандартного отображения тент:

${\displaystyle x_{n+1}=f_{\alpha }(x_{n})={\begin{cases}\alpha x_{n}&\mathrm {for} ~~0\leq x_{n}<{\frac {1}{\alpha }}\\\\{\frac {\alpha }{\alpha -1}}(1-x_{n})&\mathrm {for} ~~{\frac {1}{\alpha }}\leq x_{n}\leq 1\end{cases}}}$

Асимметричное отображение тент сохраняет вид кусочно-линейной функции и может быть использовано для представления вещественных чисел из ${\displaystyle [0;1]}$ по аналогии с десятичной записью^[4].

См. также

• Функция (математика)
• Отображение удвоения
• Логистическое отображение
• Динамическая система
• Порядок Шарковского
• Постоянная Фейгенбаума
• Аттрактор

Литература

1. Lynch, Stephen. "Nonlinear discrete dynamical systems." Dynamical Systems with Applications using Maple. Birkhäuser Boston, 2010. 263-295.
2. Li, Tien-Yien, and James A. Yorke. "Period three implies chaos." American mathematical monthly (1975): 985-992.
3. Smale, Stephen, Morris W. Hirsch, and Robert L. Devaney. "Discrete dynamical systems." Differential equations, dynamical systems, and an introduction to chaos. Vol. 60. Academic Press, 2003. 327-357.
4. Lagarias, J. C., H. A. Porta, and K. B. Stolarsky. "Asymmetric tent map expansions. I. Eventually periodic points." Journal of the London Mathematical Society 2.3 (1993): 542-556.