Область Фату — Бибербаха

Область Фату — Бибербаха — собственная подобласть ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, биголоморфно эквивалентная ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$. Открытое множество ${\displaystyle \Omega \subsetneq \mathbb {C} ^{n}}$ называется областью Фату — Бибербаха, если существует биективная голоморфная функция ${\displaystyle f:\Omega \rightarrow \mathbb {C} ^{n}}$ чья обратная функция ${\displaystyle f^{-1}:\mathbb {C} ^{n}\rightarrow \Omega }$ голоморфна. Как известно, обратная функция ${\displaystyle f^{-1}}$ не может быть полиномом.

Как следует из теоремы Римана об отображении, в случае ${\displaystyle n=1}$ области Фату — Бибербаха не существует. Пьер Фату и Людвиг Бибербах впервые исследовали такие области для бо́льших размерностей в 1920-х годах. С 1980-х годов области Фату — Бибербаха снова стали предметом математических исследований.

Литература

• Fatou, Pierre: «Sur les fonctions méromorphes de deux variables. Sur certains fonctions uniformes de deux variables.» C.R. Paris 175 (1922)
• Bieberbach, Ludwig: «Beispiel zweier ganzer Funktionen zweier komplexer Variablen, welche eine schlichte volumtreue Abbildung des ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{4}}$ auf einen Teil seiner selbst vermitteln». Preussische Akademie der Wissenschaften. Sitzungsberichte (1933)
• Rosay, J.-P. and Rudin, W: «Holomorphic maps from ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ to ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$». Trans. Amer. Math. Soc. 310 (1988) [1]