Область Рейнхарта

О́бласть Ре́йнхарта (англ. Reinhardt domain) — понятие комплексного анализа, раздела математики, обобщение понятий шара и поликруга. Названа в честь немецкого математика Карла Рейнхарта^{[англ.][1][2][3]}.

Синонимы: кратно-круговая область^[1][3]; ${\displaystyle n}$-круговая область^[2].

О́бласть Ре́йнхарта есть частный случай круговой области и области Хартогса^[4][5].

Определение области Рейнхарта

Область Рейнхарта — область ${\displaystyle D}$ комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, ${\displaystyle n\geqslant 1}$, имеющая такое свойство, что вместе с каждой точкой ${\displaystyle z^{0}=(z_{1}^{0},\,z_{2}^{0},\,\dots ,\,z_{n}^{0})\in \mathbb {C} ^{n}}$ в области ${\displaystyle D}$ лежат и все точки следующего вида^[1][2][3]:

${\displaystyle \{z=(z_{1},\,z_{2},\,\dots ,\,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}\colon \,|z_{k}-a_{k}|=|z_{k}^{0}-a_{k}|,\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n\},}$

или

${\displaystyle z=\{a_{k}+(z_{k}^{0}-a_{k})e^{i\theta _{k}}\},\quad }$ ${\displaystyle 0<\theta _{k}<2\pi .}$

Присутствующая в определении точка ${\displaystyle a\in \mathbb {C} ^{n}}$ называется центром области Рейнхарта^[1][2][3].

Область Рейнхарта имеет следующие автоморфизмы^[3]:

${\displaystyle w_{k}=a_{k}+(z_{k}-a_{k})e^{i\theta _{k}},\quad }$ ${\displaystyle k=1,\,2,\,\dots ,\,n.}$

Полная область Рейнхарта — область Рейнхарта ${\displaystyle D}$, в которой с каждой точкой ${\displaystyle z^{0}=(z_{1}^{0},\,z_{2}^{0},\,\dots ,\,z_{n}^{0})\in D}$ лежит следующий поликруг^[1][2][3]:

${\displaystyle \{z=(z_{1},\,z_{2},\,\dots ,\,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}\colon \,|z_{k}-a_{k}|\leqslant |z_{k}^{0}-a_{k}|,\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n\},}$

или

${\displaystyle z=\{a_{k}+(z_{k}^{0}-a_{k})\lambda _{k}\},\quad }$ ${\displaystyle |\lambda _{k}|\leqslant 1.}$

Полная область Рейнхарта ${\displaystyle D}$ звездообразна относительно своего центра ${\displaystyle a\in D}$^[1]. Примеры полных областей Рейнхарта: шар и поликруг^[1][2]. В случае ${\displaystyle n=1}$ примеры неполных областей Рейнхарта — кольца ${\displaystyle \{r<|z-a|<R\}}$, а полных областей Рейнхарта — круги ${\displaystyle \{|z-a|<R\}}$^[2].

Диаграмма Рейнхарта

Поскольку центр ${\displaystyle a}$ области Рейнхарта ${\displaystyle D}$ всегда можно сдвинуть в начало координат комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, то можно считать без ограничения общности, что ${\displaystyle a=0}$. Область Рейнхарта ${\displaystyle D}$ с так упрощённым описанием инвариантна относительно следующего преобразования^[1]:

${\displaystyle \{z^{0}\}\to \{z_{k}^{0}e^{i\theta _{k}}\},\quad }$ ${\displaystyle 0\leqslant \theta _{k}<2\pi ,\quad }$ ${\displaystyle k=1,\,2,\,\dots ,\,n,}$

то есть с любой своей точкой ${\displaystyle \{z_{k}\}}$ область Рейнхарта ${\displaystyle D}$ включает также и все точки с теми же ${\displaystyle |z_{k}|,}$ ${\displaystyle k=1,\,2,\,\dots ,\,n,\,}$ и всевозможными аргументами^[2].

Отсюда следует, что можно рассмотреть отображение

${\displaystyle z\to \alpha (z)=(|z_{1}|,\,|z_{2}|,\,\dots ,\,|z_{n}|)}$

${\displaystyle 2n}$-мерного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ в ${\displaystyle n}$-мерное пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, точнее говоря, в абсолютный октант ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}$^[2].

Абсолютный октант ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}$ — восьмая часть ${\displaystyle n}$-мерного пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$:

${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}=\underbrace {\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}\times \cdots \times \mathbb {R} _{+}} _{n{\text{ раз}}}}$,

где ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}=[0,\,\infty )}$ — полуось неотрицательных чисел^[6].

Диаграмма, или изображение, Рейнхарта ${\displaystyle D_{+}}$ области ${\displaystyle D}$ — множество точек абсолютного октанта ${\displaystyle D_{+}\in \mathbb {R} _{+}^{n}}$, в которое переводит область ${\displaystyle D\in \mathbb {C} ^{n}}$ отображение ${\displaystyle \alpha (z)\colon \,\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {R} _{+}^{n}}$^[7].

В частности, в случае полной области Рейнхарта ${\displaystyle D}$ диаграмма Рейнхарта ${\displaystyle D_{+}}$ обладает тем свойством, что вместе с каждой точкой ${\displaystyle \{|z_{k}^{0}|\}}$ в области ${\displaystyle D_{+}}$ лежит и весь прямоугольный параллелепипед ${\displaystyle \{|z_{k}|\leqslant |z_{k}^{0}|,\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n\}}$^[7].

Область Рейнхарта полностью характеризуется своей диаграммой Рейнхарта, причём то, что при этом размерности пространства понижается на ${\displaystyle n}$ единиц, делает ещё изображение Рейнхарта и наглядным для ${\displaystyle n=2}$ и ${\displaystyle n=3}$. На рисунках ниже показаны диаграммы Рейнхарта для ${\displaystyle n=2}$ и ${\displaystyle n=3}$ сначала шара ${\displaystyle \{|z|<1\}}$, а затем поликруга ${\displaystyle \{|z_{k}|<1\}}$; для поликруга изображены множества ${\displaystyle \Gamma _{k}}$ его границы и его остов ${\displaystyle \Gamma }$^[7].

Примечания

1. Соломенцев Е. Д. Кратно круговая область, 1982.
2. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976, 2. Простейшие области, с. 16.
3. Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964, § 7. Голоморфные отображения, б. Группа автоморфизмов, с. 63.
4. Соломенцев Е. Д. Поликруг, 1984.
5. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976, 2. Простейшие области, с. 18.
6. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976, 2. Простейшие области, с. 16—17.
7. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976, 2. Простейшие области, с. 17.

Источники

• Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных / Предисловие академика Н. Н. Боголюбова. М.: «Наука», 1964. 411 с.: ил.
• Соломенцев Е. Д. Кратно круговая область // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 3 Коо—Од. М.: «Советская Энциклопедия», 1982. 1184 стб., ил. Стб. 88—89.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, изд. 2-е, перераб. и доп. М.: «Наука», 1976. 400 с.: ил.