Нормальные координаты

Нормальные координаты — локальная система координат в окрестности точки риманова многообразия (или, более общно, многообразия с аффинной связностью) полученная из координат на касательном пространстве в данной точке применением экспоненциального отображения.

В базовой точке нормальной системы координат символы Кристоффеля обнуляются; это часто упрощает вычисления.

Построение

Пусть ${\displaystyle M}$ есть гладкое многообразие с аффинной связностью и ${\displaystyle \exp _{p}\colon T_{p}\to M}$ есть соответствующее экспоненциальное отображение. Тогда нормальные координаты точки ${\displaystyle x=\exp _{p}v}$ считаются равными координатам вектора ${\displaystyle v}$ в касательном пространстве ${\displaystyle T_{p}}$.

Выбор последних координат произволен, в частности для риманова многообразия можно предположить, что координаты прямоугольные.

Замечания

• Нормальные координаты определены в пределах радиуса инъективности базовой точки ${\displaystyle p}$.

Свойства

• Символы Кристоффеля обнуляются вбазовой точек нормальных координат.

• Лемма Гаусса утверждает, что малые координатные сферы с центром в начале координат являются метрическими сферами и они остаются перпендикулярными геодезическим исходящим из базовой точки.

• Компоненты тензора кривизны однозначно определяет многочлен Тейлора степени два метрического тензора, записанного в нормальных координатах. А именно:

${\displaystyle g_{ij}(x)=\delta _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\cdot R_{iklj}\cdot x^{k}\cdot x^{l}+o(|x|^{2}).}$

Вариации и обобщения

• Нормальные координаты естественно обобщаются на финслеровые многообразия. Поскольку экспоненциальное отображение на финслеровых многообразия не является дважды дифференцируемым в нуле,^[1] нормальные координаты финслерова многообразия также не гладки в нуле.

Примечания

1. Busemann, Herbert (1955), "On normal coordinates in Finsler spaces", Mathematische Annalen, 129: 417—423, doi:10.1007/BF01362381, ISSN 0025-5831, MR 0071075.